CSP-S2019格雷码

题目描述

通常，人们习惯将所有 $n$ 位二进制串按照字典序排列，例如所有 2 位二进制串按字典序从小到大排列为：00，01，10，11。

格雷码（Gray Code）是一种特殊的 $n$ 位二进制串排列法，它要求相邻的两个二进制串间恰好有一位不同，特别地，第一个串与最后一个串也算作相邻。

所有 2 位二进制串按格雷码排列的一个例子为：00，01，11，10。

$n$ 位格雷码不止一种，下面给出其中一种格雷码的生成算法：

1. 1 位格雷码由两个 1 位二进制串组成，顺序为：0，1。
2. $n + 1$ 位格雷码的前 $2^n$ 个二进制串，可以由依此算法生成的 $n$ 位格雷码（总共 $2^n$ 个 $n$ 位二进制串）按顺序排列，再在每个串前加一个前缀 0 构成。
3. $n + 1$ 位格雷码的后 $2^n$ 个二进制串，可以由依此算法生成的 $n$ 位格雷码（总共 $2^n$ 个 $n$ 位二进制串）按逆序排列，再在每个串前加一个前缀 1 构成。

综上，$n + 1$ 位格雷码，由 $n$ 位格雷码的 $2^n$ 个二进制串按顺序排列再加前缀 0，和按逆序排列再加前缀 1 构成，共 $2^{n+1}$ 个二进制串。另外，对于 $n$ 位格雷码中的 $2^n$ 个 二进制串，我们按上述算法得到的排列顺序将它们从 $0 \sim 2^n - 1$ 编号。

按该算法，2 位格雷码可以这样推出：

1. 已知 1 位格雷码为 0，1。
2. 前两个格雷码为 00，01。后两个格雷码为 11，10。合并得到 00，01，11，10，编号依次为 0 ~ 3。

同理，3 位格雷码可以这样推出：

1. 已知 2 位格雷码为：00，01，11，10。
2. 前四个格雷码为：000，001，011，010。后四个格雷码为：110，111，101，100。合并得到：000，001，011，010，110，111，101，100，编号依次为 0 ~ 7。

现在给出 $n$，$k$，请你求出按上述算法生成的 $n$ 位格雷码中的 $k$ 号二进制串。

输入格式

仅一行两个整数 $n$，$k$，意义见题目描述。

输出格式

仅一行一个 $n$ 位二进制串表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

2 3

样例输出 #1

10

样例 #2

样例输入 #2

3 5

样例输出 #2

111

样例 #3

样例输入 #3

44 1145141919810

样例输出 #3

00011000111111010000001001001000000001100011

提示

【样例 1 解释】

2 位格雷码为：00，01，11，10，编号从 0∼3，因此 3 号串是 10。

【样例 2 解释】

3 位格雷码为：000，001，011，010，110，111，101，100，编号从 0∼7，因此 5 号串是 111。

【数据范围】

对于 $50\%$ 的数据：$n \leq 10$

对于 $80\%$ 的数据：$k \leq 5 \times 10^6$

对于 $95\%$ 的数据：$k \leq 2^{63} - 1$

对于 $100\%$ 的数据：$1 \leq n \leq 64$, $0 \leq k \lt 2^n$

解

这题全是泪呀

首先复述一下生成格雷码的规则。

1位格雷码有2个。

2位格雷码有4个，

其中的前两个是把1位格雷码按顺序抄下来，往前面加个0

其中的后两个是把1位格雷码按逆序抄下来，往前面加个1

以此类推

可以考虑设计一个函数solve(n , k)表示求解n位格雷码的第k个是什么。

若$k < 2^{n-1}$说明要找的是前一半的，前面加0然后 $solve(n-1,k)$找n-1位的第k个

若$k >= 2^{n-1}$说明要找的是后一半的，前面加1然后$solve(n-1,2^{n-1} - 1 - (k - 2 ^ {n-1}))$

​ 其中$k-2^{n-1}$表示是n-1位格雷码的第几个，然后再用$2^{n-1}-1$减去$k - 2 ^ {n-1}$是因为后一半是倒序的，这样减完之后就是正序的第几个。

注意不要合并写成$2^n - k - 1$因为，若n=64，是表示不出来$2^{64}$这个数的

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
string solve(ull n , ull k)
{
	string s = "\n";
	if(!n) return s;
	if((1ull << (n - 1)) <= k)
		return '1' + solve(n - 1 , (1ull << (n - 1)) - (k - (1ull << (n - 1))) - 1);
	else
		return '0' + solve(n - 1 , k);
}
 
int main()
{
	ull n , k;
	cin >> n >> k;
	cout << solve(n , k);
	return 0;
}