毕设（六）逻辑学

命题逻辑系统

命题逻辑系统有很多种，比如公理化系统、自然推理系统、sequent系统等。

一些基础

联结词

命题推理系统包括联结词和命题。
联结词：并非、并且、或者、如果那么、当且仅当。分别用符号﹁、∧、∨、→、↔表示。

• 其中﹁和→是基本联结词，∧、∨、↔都用它们来定义。

命题：也用字母符号表示。
利用这些符号我们可以构造复杂的命题，

• 比如p→q，表示如果p那么q，p∧﹁q，表示p并且﹁q。
• 比如：(p↔q)∨(p→(q→(﹁p∧r)))。

联结词完全集

可以把联结词看作是一个函数，比如∧是一个二元函数，∧(0,0)=0，∧(0,1)=1，∧(1,0)=1，∧(1,1)=1。
可以证明任何真值函数都可以用{﹁，∧}、{﹁，∨}、{﹁，→}的任一种表示。

举例说明第一种情况：
f(0)=0，f(1)=1。则f(x)= x
f(0)=0，f(1)=0。则f(p)=x∧﹁x
f(0,0)=0，f(0,1)=0，f(1,0)=1，f(1,1)=1，则f(x,y)=﹁(﹁(x∧﹁y)∧﹁(﹁x∧y))

实际上我们可以定义一个联结词↓，使得它能表示所有真值函数。它是这样定义的：↓(0,0)=1，↓(0,1)=0，↓(1,0)=0，↓(1,1)=0。可以证明它能表示所有函数。

定理和推理

定理：通过公理和推理规则证明的任何一个命题都是定理。任何公理都是定理。

定理的符号：记作⊢A，表示A是定理，亦即A是无条件成立的。

• ⊢表明一个公式是永真式，定理肯定是永真。

需要推理的定理：如果一个命题还需要其他前提才能证明得到，则记作A⊢B，表示A是前提，B是结论。

演绎定理

如果Γ,A ⊢B ，那么Γ⊢A→B。

• 这里Γ是命题集（可以是空集），A和B是任意命题。如果某个命题集Γ和命题A推出B，则从Γ可推出A→B。这个定理的证明从略。

命题逻辑的可靠性和完全性定理

前面介绍了命题逻辑系统，我们可以用它进行推理。

现在的问题是，它的推理都是有效的吗？或者说，当前提为真时，它推理得到的结论都是真的吗？
另一个问题是，用它能得到所有的有效推理吗？

第一个问题叫可靠性问题：从Γ⊢A，能否得到Γ⊨A？
第二个叫完全性问题：从Γ⊨A，能否得到Γ⊢A？

上面的Γ表示命题集（可以是空集），Γ⊢A，表示从Γ推出A，Γ⊨A表示如果Γ中的每个命题都真，则A真。

(1)可靠性定理

可靠性定理的证明比较简单。可以检验，三条公理都是永真的。即不管原子命题取什么值，它们都取真值。而推理规则是保真的：当p和p→q都为真时，q一定为真。从Γ推出A的过程中，只能使用Γ、逻辑公理和推理规则。所以如果Γ是真的，则推理得到的任何结果都是真的。所以可靠性定理成立。

(2)完全性定理

这里只讨论证明思路。

要证：如果Γ⊨ A，那么Γ⊢A。所以要证：如果并非Γ⊢A，那么并非Γ⊨ A。
即要证：并非Γ⊢A，那么Γ和﹁A可以同时为真。

只需证明下面两点：

1、如果并非Γ⊢A，则Γ∪﹁A是一致集
2、任何一致集都有模型
一致集和模型的定义。Γ是一致集，当且仅当，存在一个公式R，并非Γ⊢R。一个命题或一个命题集合有模型是指，存在一个赋值使得它们为真。

先证明1。

如果Γ∪﹁A不是一致集，则Γ，﹁A ⊢ A。根据演绎定理，有Γ⊢﹁A→A。又因为 (﹁A→A)→A是定理。所以Γ⊢A，与前提相矛盾。

再证明2。

先将一致集扩展成极大一致集，然后给极大一致集找到一个模型。
极大一致集的定义：某个一致集S，对任意的公式A，A或者﹁A恰有一个属于S，则集合S是极大一致集。

现在将任意的一致集T0扩展成极大一致集。

所有的命题组成的集合是可数的，将它们排列，A1、A2、A3、……An、……。如果Tn ⊢An，则Tn+1=Tn∪{An}，如果并非Tn ⊢An，则Tn+1=Tn∪{﹁An}。令T = ∪Tn，即所有扩充集的并。可证明T是极大一致集。

给T中的每个原子命题赋真值，不在T中的原子命题赋假值。可以通过归纳法证明，这个赋值下，任意一个公式为真当且仅当它属于T。所以这个赋值是T的模型。

1 命题逻辑的公理系统

这里讨论的是公理化系统。它就像我们以前学过的几何证明一样，从几条公理出发，通过推理得到结论。
【我的问题】公理系统仅出现基本联结词吗??不是吧？

(1)初始符号

大写英文字母
A,...Z表示命题
¬,∨表示联结词
(,)一对括号规定了联结词运算的优先顺序
⊢表明一个公式是永真式

(2)形成规则

称初始符号构成的符号序列为公式，只有符合以下条件的符号序列是合式公式：

• 单个符号π，π是大写英文字母
• 若A为合式公式，¬A是合式公式
• 若A,B为合式公式，(A∨B)是合式公式

为简化其他合式公式的表达，引入如下所示的公式：
p∧q := ﹁(p→﹁q) 或 p∧q := ﹁(﹁p∨﹁q)
p∨q := ﹁p→q 或 p→q := ﹁p∨q
p↔q := (p→q)∧(q→p)

就是说，左边的命题可以用右边的命题是等价的。只有联结词﹁和→是基本的，∧、∨、↔都用它们来定义。

(3)公理

1、p→(q→p)
2、(p→(q→r))→((p→q)→(p→r))
3、(﹁p→﹁q)→( q→p)

在公理系统中引入如下公理：
⊢(p∨p→p)
⊢(p→p∨q)
⊢(p∨q→q∨p)
⊢((q→r)→((p∨q)→(p∨r)))

(4)推理规则

代入规则、分离规则、置换规则是命题逻辑公理系统中的推理规则

分离规则：

从p和p→q，推出q

• 上面的公理和推理规则中的p、q、r可以代表任何命题。比如r→(s→r)也是公理，它只是把p换成了r，q换成了s。(p∨q)→((r∧s)→(p∨q))也是公理，它把p换成了p∨q，q换成了r∧s。
• 上面的公理中，仅出现﹁和→，没有出现∧、∨、↔。

2 命题逻辑的自然推理系统

(1)初始符号

命题逻辑的自然演绎系统的一部分初始符号继承自命题逻辑的公理系统。此外，命题逻辑的自然演绎系统还包含如下初始符号：
Γ ={A1,…,An}=A1,…,An
表示有限个命题公式集合，定义Γ⊢A表示Γ,A之间有形式推理关系，Γ为形式前提，A为形式结论。

(2)形成规则

命题逻辑的自然演绎系统的形成规则与命题逻辑的公理系统的形成规则相同

(4)定理？公理

命题逻辑的自然演绎系统包含的定理与命题逻辑的公理系统包含的定理相同

(3)变形规则

命题逻辑的自然演绎系统有如下变形规则：
A1,…,An⊢Ai(i=1…,n) ，即前提中的任何命题都可以作为结论出现
传递律：若Γ⊢A且A⊢B，则Γ⊢B
反证律：若Γ,¬A⊢B且Γ,¬A⊢¬B，则Γ⊢A（等价于证明Γ∧¬A=F）
分离规则：A,A→B⊢B
蕴含词引入：若Γ,A⊢B，则Γ⊢A→B

3 非标准逻辑

逻辑符号

(1)Γ，⊢，⊨

Γ是命题集（可以是空集）

⊢表示可推出。

• 自然演绎系统中，A ⊢ B 和 ⊢ A→B 等价。

⊢ is an assertion. It IS NOT necessarily correct and a specific deduction model must be given to make this assertion.
E.g. Sequent A, B ⊢ C, D means that under current deduction model, if both A and B are true, then either C or D is true. This assertion may be correct.
And under natural deduction(自然演绎系统), A ⊢ B and ⊢ A→B are the same.

例子：

如果Γ,A ⊢B ，那么Γ⊢A→B。

• 这里Γ是命题集（可以是空集），A和B是任意命题。如果某个命题集Γ和命题A推出B，则从Γ可推出A→B。这个定理的证明从略。
  
  

⊨也表示推出，但更强。

• A⊨B，表示A中所有元素均为真时，B成立。

⊨ is a semantic entailment symbol used to check the relationship among certain variables under every logic model. It’s more like a universal version of ⊢, and it IS NOT necessarily correct as well.
E.g. I’ve just had my meal ⊨ Something just traveled to my stomach through my throat
This semantic entailment isn’t necessarily correct, for there might be some creature using other holes for eating instead of the one we called mouth.

(2):=

:=表示定义为

谓词逻辑

谓词逻辑，就是加了"量词运用规则"的命题逻辑。
命题逻辑可以看作是零阶逻辑，谓词逻辑就是一阶逻辑。

一阶谓词逻辑是命题逻辑的推广，二阶谓词逻辑是一阶谓词逻辑的推广。

命题逻辑的可满足性问题是NP-Complete的,一阶谓词逻辑的可满足性问题不可判定的.

自由变量 （谓词公式中的自由变量）

术语

argument（论证）

论证(argument)：句子的集合体。

• 讲道理的过程和结果用一个更准确的术语来表示。结果就是道理，即即你说出的一系列句子。
• 由n(n>2)个句子顺序构成的论证，前n-1个句子称作【前提】(premise)，第n个句子称作【结论】（conclusion）。

有效论证(valid argument):

• 论证的有效性由两个因素：论证的句法结构，命题真值

论证模式(argument schema)：

• 是论证的一般性公式，抽离了具体命题的内容，只留下了命题真值和句法结构。
• 论证模式和论证，就像算术和代数，前者研究具体计算，后者研究运算规律。
• 论证是展示讲道理的具体案例，论证模式展示讲道理的一般规律。

参考:
https://site.douban.com/145723/room/3729001/ 【豆瓣逻辑小站，很棒的逻辑学网站】
https://blog.csdn.net/smilejiasmile/article/details/106719257
https://huangfusl.github.io/math/discrete-mathematics/chapter-3/#_16 【命题逻辑系统，总结的也不错】
https://blog.sciencenet.cn/blog-1255140-1033426.html 【over，命题逻辑系统——逻辑学笔记8】
https://blog.sciencenet.cn/blog-1255140-1033465.html 【未整理，命题逻辑的可靠性和完全性定理——逻辑学笔记9】
http://wangyanjing.com/wp-content/uploads/2019/08/PublicDeltaLogicfinal.pdf 【哲学、数学、计算机中的逻辑学】
https://blog.csdn.net/weixin_43929519/article/details/86012324 【difference between →, ⊢ and ⊨】