內积&外积&叉积&张量积

1.矩阵上标

（1）A^T

T是transpose转置。

（2）A^-1

-1是inverse逆矩阵。

（3）A⁺

①广义逆矩阵，是逆矩阵的推广，奇异矩阵（行列式为0的方阵）和非方阵，没有逆矩阵，但可以有伪逆矩阵。

②广义逆定义：

　　复矩阵A_mxn，X_nxmdddd满足四个Moore-Penrose方程中的全部或部分，称X为A的广义逆矩阵。

　　四个Moore-Penrose方程：1. AXA=A，2. XAX=X，3. (AX)^H=AX，4. (XA)^H=XA。

③15种广义逆：满足上述一个、两个、三个、四个方程的广义逆矩阵共有C₄¹+C₄²+C₄³+C₄⁴=15种。

④记号：

　　若G满足第i个方程的广义逆矩阵，记G=A⁽ⁱ⁾。满足第i,j个方程，记为G=A^(i,j)；满足第i,j,k个方程，记为G=A^(i,j,k)。满足四个方程，记为G=A^(1,2,3,4)=A⁺。

　　除了A⁺唯一，其余各类广义逆均不唯一。用集合表示，A(i)∈集合A{i}，A(i,j)∈集合A{i,j}，A(i,j,k)∈集合A{i,j,k}。

⑤常见广义逆：

　　A{1}：叫{1}逆，也叫做减号逆，记为A^-。

　　A{1,3}，A{1,4}，

　　A⁺=A^(1,2,3,4)：叫加号逆或pseudoinverse伪逆，A⁺很常用，很重要。

⑥A⁺性质

参考：https://www.jianshu.com/p/609fa0cce409

（4）A^*

*有歧义，两个意思，一个是conjugate复共轭，另一个是伴随矩阵（A^*=|A|·A^-1）。

复共轭似乎更常用，需要看语境区分。 

（5） A^†或 A^H

一直不明白的右上角那把剑，原来是是复数向量 共轭转置 的意思，也称Hermite转置，有时候也被写成H。

注意：剑 A^† 和A⁺不一样！

2.正确定义

（1）向量內积

行向量点乘列向量，符号<a,b>。（默认向量都是列向量）

①实数向量內积（欧式空间）

<a,b> = a^T·b = |a| |b| cosθ = ∑ a_i b_i 

②复数向量內积

<a,b> = b^† · a = (b^*)^T · a = ∑(b_i ^*) a_i 

（2）向量外积

列向量点乘行向量，符号 ⊗，外积是一种特殊的Kronecker克罗内克积。

①实数向量外积

②复数向量外积

（一直不明白的右上角那把剑，原来是是复数向量 共轭转置 的意思，也称Hermite转置，有时候也被写成H。）

 （3）向量叉积

叉积（Cross product）又称向量积（Vector product），矢积，叉乘，是对三维空间中的两个向量的二元运算，符号。与点积不同，它的运算结果是向量。

（4）直积（张量积或Kronecker积）

 

 

 

3.错误定义（百度百科）  X

內积=点乘  

外积=叉乘

这告诉我们，还是不要轻信百度百科和各种博客。能wiki最好wiki吧【╮(╯▽╰)╭】

 

参考：

赵迪《矩阵理论教程》第2版。

感谢靠谱博客：https://blog.csdn.net/scythe666/article/details/79518162

https://en.wikipedia.org/wiki/Outer_product

 

在欧几里得几何中，两个笛卡尔坐标向量的点积常称为内积（德语：inneres Produkt、英语：Inner Product）

Inverse Matrix(逆矩阵)& Pseudoinverse Matrix