南京大学2021年春季学期《微分几何》期末考试
南京大学2021年春季学期《微分几何》期末考试
限时2小时。考试时间：2021年6月24日。
一、(10分)平面正则闭曲线相对曲率 \(k_r(s)=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-s^2}}\) ，其中 \(s\) 是弧长参数，求平面曲线.
二、(20分)平面正则闭曲线在半径为 \(r\) 的圆盘内，证明曲线上存在一点 \(p\) 使得 \(|k_r(p)|\ge\dfrac{1}{r}\) .
三、(20分)直线与平面正则闭凸曲线相交，证明有两个交点或相切，由此证明与该曲线相交的直线(不计重数)集合的测度为弧长.
四、(10分)证明球面正则闭曲线全挠率 \(\dfrac{1}{2\pi}\oint_C\tau(s)ds=0\mod 1\) ，其中 \(s\) 是弧长参数.
五、(20分)证明正则曲面非脐点处主曲率光滑，脐点处主曲率连续.
六、(20分)环面 \(T:x(u,v)=((a+r\cos u)\cos v,(a+r\cos u)\sin v,r\sin u)\) ，其中 \(a>r>0,0\le u,v<2\pi\) ，计算 \(\iint_T KdA\) 和欧拉示性数.
考察相对曲率的定义，设 \(T=\cos\theta e_1+ \sin\theta e_2\) ， \(k_r=\theta'\) .
设 \(\partial D_R,R\le r\) 是包含闭曲线的最小圆周，设参数表示为 \(y\) ，取交点 \(p\) ，二阶Taylor展开，注意到曲线和最小圆周共切线，不妨设 \(k_r>0\) ，则 \(2\dfrac{(x-p)\cdot T}{[(x-p)\cdot N]^2}\ge 2\dfrac{(y-p)\cdot T}{[(y-p)\cdot N]^2}\) ，取极限立得 \(k_r\ge\dfrac{1}{R}\ge\dfrac{1}{r}\) .
按交点个数结合凸性和闭曲线分类讨论. 折线段 \(\{L_i\}_i\) 逼近曲线，通过刚体运动将中心置于原点，沿 \(e_1\) 放置，直线族 \(L_{\theta,p}:x^1\cos\theta+x^2\sin\theta=p\) 与 \(L_i\) 相交的集合 \(S_i=\left\{(p,\theta)|0\le p\le \dfrac{l_i}{2}|\cos\theta|,0\le\theta<2\pi\right\}\) ，测度 \(\iint_{S_i}dpd\theta=2l_i\) 不随刚体运动变化，相交直线集合测度 \(2\sum\limits_i l_i=2l\) ，不计重数，忽略相切直线零测集，测度为弧长.
对 \(|x|\equiv R\) 求导，可设 \(x=\cos\theta N+\sin\theta B\) ，求导得 \(\tau=\theta'\) .
若参数表示 \(x(u)\in C^k(U),U\subset\mathbb{R}^2,k\ge 3\) ，则 \(H,K\in C^{k-2}(U)\) ，而 \(k_1,k_2=H\pm\sqrt{H^2-K}\) ，非脐点处 \(H^2>K\) ，故 \(k_1,k_2\in C^{k-2}(U)\) ，脐点处 \(k_1=k_2\in C^0(U)\) .
根据紧致定向闭二维曲面的Gauss-Bonnet公式
事实上由亏格 \(g=1\) 直接得 \(\chi(T)=2(1-g)=0\) .
第二题是Do Carmo教材《曲线和曲面的微分几何》35页第5题，参考27页第14题.第三题参考Do Carmo教材1-7节四顶点定理和Cauchy-Crofton公式的证明.第四题是沈一兵教材《整体微分几何初步》2.3节球面曲线全挠率的定理2.7的简单的一半.第五题是陈维桓教材《微分几何初步》4.4节主方向和主曲率的计算的定理1.
总结
一如既往考察基础题，但很可惜由于知识点掌握的不熟练，考场上好多题都没做完整，再一次发挥失常。但是，谁也阻挡不了我对数学的热爱，当做题的时间拉长的无穷大，一切困难都将被战胜，加油。
