南京大学2021年春季学期《微分几何》期中考试

南京大学2021年春季学期《微分几何》期中考试

每题20分，限时2小时。考试时间：2021年5月13日。

题目有修正。

一、求曲线的曲率、挠率、Frenet标架.

二、正则曲线的切线过定点，证明曲线是直线或直线的一部分.取消正则性条件，结论是否成立?

三、已知曲面 \({\bf x}(u,v)\) 的 \(K,H\) ，设 \(a\in\mathbb{R}\) 且当 \(a\neq0\) 时主曲率不等于 \(\dfrac{1}{a}\) ，求平行曲面 \({\bf y}(u,v)={\bf x}(u,v)+a{\bf n}(u,v)\) 的 \(\bar{K},\bar{H}\) .

四、正则曲面的切面过定点，证明曲面是锥面的一部分.

五、定义测地挠率为测地线的挠率，证明 \(\tau_g=n'\times(T\times n)\) ，证明 \((k_n)^2+(\tau_g)^2-2Hk_n+K=0\) .

前两题送分，不解释。

第二题的反例见Do Carmo教材P26的第10题。

第三题至少有五种思路：

(方法一)(原创)计算平行曲面的第一、第二基本形式，取曲率线网，计算主曲率，计算平均曲率和高斯曲率。其中用到了三个基本形式的关系

\[III=2HII−KI \]

如果没有记住，就需要正确推导。最终结果是

\[\bar{H}=\dfrac{-aK+H}{a^2K-2aH+1},\qquad\bar{K}=\dfrac{K}{a^2K-2aH+1}. \]

(方法二)(陈学长老师提供)根据

\[n_1\times n_2=K x_1\times x_2,\qquad n_1\times x_2+x_1\times n_2=-2Hx_1\times x_2 \]

来计算。

(方法三)(石亚龙老师提供)根据 \(n\perp y_\alpha\) 得 \(n=\bar{n}\) ，根据

\[\bar{W}(a_\alpha^\beta y_\beta)=k_\alpha a_\alpha^\beta x_\beta,\qquad y_\alpha=x_\alpha-aW(x_\alpha),1\le\alpha\le2, \]

在移动标架 \(\{y;y_1,y_2,n\}\) 下计算.

(方法四)(方法五)(改编自方法三)在移动标架 \(\{x;x_1,x_2,n\},\{x;W(a_1^\alpha x_\alpha),W(a_2^\alpha x_\alpha),n\}\) 下计算.

从(方法四)(方法五)中可见(方法一)的核心，即 \(K,H\) 内蕴。原题缺少当 \(a\neq0\) 时主曲率不等于 \(\dfrac{1}{a}\) (全脐)的条件，或者约定 \(a\ll 1\) 。

第四题是第二题的结果直接推广到曲面。直接计算基本形式，使用曲面论基本定理，是一条思路，但是可能行不通。不妨设定点是原点，考虑锥面的齐次性条件，延拓曲面得到直纹面，利用已知条件立得曲面是锥面或平面。原曲面是去除非正则点（顶点）的局部锥面。思路源于沈一兵教材P14第0.2节习题7，坐标变换补充条件是本题的亮点。原题缺少局部条件。

第五题是沈一兵教材P27第0.4节习题6原题。这个题的难点就是使用行列式表示测地挠率，不易直接观察出来。原题有P26第0.4节习题1作为引理，证明难度就小了很多。如果考场上忘记了行列式的形式，那么难度会很大。解决方法是直接在曲率线网下进行计算。最后还要注意设 \(T=\cos\theta \dfrac{x_1}{\sqrt{g_{11}}}+\sin\theta \dfrac{x_2}{\sqrt{g_{22}}}\) ，如果没有 \(\theta\) 参数，那么最后很难建立 \(du^1,du^2\) 的联系，得到最终结果。

总结

本次期中考试没有特别难的题，考察的都是基本功。在应试时，在已经做过的习题中寻找解题思路，要比寻找新思路要容易得多。从最终结果来看，说明平时还要多做题。

最后，期末考试加油！