难题征解
难题征解
版本：2019-07-28 @阆苑祁寒
——这位客官，里面请。
——小二，请上题。
p_1(algebra·done)
s_1
提示：构造分块矩阵$\begin{pmatrix}I_m&B \\ C&I_n\end{pmatrix},\begin{pmatrix}A&-B \\ C&I_n\end{pmatrix}$，两种LDU分解方式，比较对应项即证。
p_2(algebra)
h_2
提示：莫比乌斯变换的矩阵表示.
p_3(algebra·done)
s_3
提示：归纳法，或者从基础矩阵入手.
p_4(calculus·done)
s_4
提示：Largrange恒等式.
p_5(algebra)
设复系数多项式$f(x)=\sum\limits_{i=0}^mf_ix^i$,$g(x)=\sum\limits_{i=0}^ng_ix^i$,$m=n,(f_n,g_n)\ne(0,0),n$阶方阵$B=(b_{ij})$称为Bezout方阵,$\det(B)$称为Bezout结式,记作$B(f,g)$,其中$B$满足$\dfrac{f(x)g(y)-f(y)g(x)}{x-y}=\sum\limits_{i,j=1}^nb_{ij}x^{i-1}y^{j-1}$.求证：
(1)形式上$\det(B)=(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}R(f,g)$.
(2)rank($B$)=$n-\deg(\gcd(f,g))$.
p_6(algebra)
设$A=(a_{ij})$是$n$阶方阵,证明：
$$\det\Bigl(A^*[\begin{smallmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_r \\ j_1&j_2&\cdots&j_r\end{smallmatrix}]\Bigr)=(-1)^{\tau(i_1,i_2,\cdots,i_n)+\tau(j_1,j_2,\cdots,j_n)}\det(A)^{r-1}\det\Bigl(A[\begin{smallmatrix}j_{r+1}&j_{r+2}&\cdots&j_n \\ i_{r+1}&i_{r+2}&\cdots&i_n\end{smallmatrix}]\Bigr)$$
其中$(i_1,i_2,\cdots,i_n)$和$(j_1,j_2,\cdots,j_n)$都是$(1,2,\cdots,n)$的排列,$1\le r<n$.
p_7(algebra)
设$1\le i,j\le n,s_k=\sum\limits_{i=1}^nx_i^k$,计算下列行列式.$\det\left(C_{p+i}^{q+j}\right),p-q\ge n-1$.
p_8(algebra)
设$A=(a_{ij})_{n\times n}\neq O$,$\forall i,\sum\limits_{j=1}^na_{ij}=\sum\limits_{j=1}^na_{ji}=0$,求$A^*$.
p_9(algebra)
$\Omega=(\omega^{(i-1)(j-1)})_{n\times n}$,为什么$\Omega^6=\Omega^2\Omega^4\neq(\Omega^3)^2$?
p_10(complex function)
Laplace算子$\Delta:=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$，证明：$\Delta=4\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial \overline{z}}=4\frac{\partial}{\partial \overline{z}}\frac{\partial}{\partial z}$.
p_11(complex function)
证明$f(x+yi)=\sqrt{|x||y|},x,y\in\mathbb{R}$在原点处满足Cauchy-Riemann条件但不全纯.
p_12(complex function)
设$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$，幂级数收敛半径为$R$，求证：$f$可以在$D_R(0)$内幂级数展开.
p_13(complex function)
设在$z$处有幂级数展开$(1-z)^{-m}=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$，证明$a_n\sim\frac{n^{m-1}}{(m-1)!}(n\to\infty)$，其中$m\in\mathbb{N}$.
p_14complex function)
设$z\in D_1$，证明$\frac{z}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^{z^n}}{1-z^{2^{n+1}}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^nz^{2^n}}{1+z^{2^n}}$，并讨论求和次序的合理性.
p_15(complex function)
证明$\mathbb{N}$能写为有限个步不同的算术集合的并当且仅当$a=d=1$.定义算术集合$S=\{a,a+d,a+2d,\cdots\}$和算术集合的步$d$，其中$a,d\in\mathbb{N}$.
p_16(complex function)
设$n\in\mathbb{N}$，给出积分$\int_\gamma z^ndz$的一个估计，其中$\gamma$分别是$D_r(0)$的正向边界和$D_r(0)\backslash\{0\}$的正向边界.设开盘$D_r(0)$的半径满足$|a|<r<|b|$，当$\gamma$是开盘$D_r(0)$正向边界时，证明$\int_\gamma\frac{dz}{(z-a)(z-b)}=\frac{2\pi i}{a-b}$.
p_17(waiting)
部分疑难问题迁移到了大学数学专栏
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