求逆序对的各种算法
设\(A\)为一个有\(n\)个数字的有序集\((n>1)\)，其中所有数字各不相同。
如果存在正整数\(i,j\)使得\(1 ≤ i < j ≤ n\)而且\(A[i] > A[j]\)，则\(<A[i], A[j]>\)这个有序对称为\(A\)的一个逆序对，也称作逆序数。
——百度
1.冒泡排序
思想
我们的冒泡排序的思想十分简单，我们每一次循环都将最大的数排到最后面。我们每交换一次就是一个逆序对。
我们冒泡排序有一个简单的小优化：如果我们某一轮没有交换了，我们的序列即为有序。
代码：
for(int i=1;i<=n;i++) {
bool flag=1;
for(int j=1;j<=n-i;j++)
if(a[j]>a[j+1]) swap(a[j],a[j+1]),flag=0,ans++;
if(flag) break;
}
时间复杂度\(O(n^2)\)。
2.归并排序
思想
我们首先来了解一下归并排序的思想：二分和合并。
三部曲：
1.划分：把序列分成元素个数尽量相等的两半
2.递归求解：把两半元素分别排序
3.合并问题：把两个有序表合并为一个
合并：每次只需把左右两边序列的最小元素进行比较，把其中较小的元素加入到合并后的辅助数组中。
void msort(int s,int t) {
if(s==t) return ;
int mid=(s+t)>>1;
msort(s,mid),msort(mid+1,t);
int i=s,j=mid+1,k=s;
while(i<=mid && j<=t) {
if(a[i]<=a[j]) r[k]=a[i],k++,i++;
else r[k]=a[j],k++,j++;
}
while(i<=mid) r[k]=a[i],k++,i++;
while(j<=t) r[k]=a[j],k++,j++;
for(int i=s;i<=t;i++) a[i]=r[i];
return ;
}
我们可以假设左边序列为\({3，4，7，9}\)，右边为\({1，5，8，10}\)
我们的第一步就是比较\(1\)和\(3\)，因为\(1<3\)，所以\(1\)入预备数组。
我们这时候可以发现，我们的\(1\)与左边序列的\(3\)和\(3\)之后的数都是逆序对，一共就\(4\)对了。这也是归并排序找逆序对快的原因。
我们只需要在\(a[i]>a[j]\)时，答案加上\(mid-i+1\)。
代码
void msort(int s,int t) {
if(s==t) return ;
int mid=(s+t)>>1;
msort(s,mid),msort(mid+1,t);
int i=s,j=mid+1,k=s;
while(i<=mid && j<=t) {
if(a[i]<=a[j]) r[k]=a[i],k++,i++;
else r[k]=a[j],k++,j++,ans+=mid-i+1;
}
while(i<=mid) r[k]=a[i],k++,i++;
while(j<=t) r[k]=a[j],k++,j++;
for(int i=s;i<=t;i++) a[i]=r[i];
return ;
}
时间复杂度\(O(n\ log\ n)\)。
3.树状数组
树状数组
我们的树状数组也是可以求逆序对的。
思想
实际上就是统计当前元素的前面有几个比它大的元素的个数，然后把所有元素比它大的元素总数累加就是逆序对总数。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[1005],lsh[1005],BIT[1005];
int lowbit(int x) { return x & -x; }
void update(int k,int x) {
for(int i=k;i<=n;i+=lowbit(i)) BIT[i]+=x;
return ;
}
int ask(int x) {
int ans=0;
for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ans+=BIT[i];
return ans;
}
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),lsh[i]=a[i];
sort(lsh+1,lsh+n+1);//离散化
unique(lsh+1,lsh+n+1)-lsh-1;
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(lsh+1,lsh+n+1,a[i])-lsh;
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
update(a[i],1);//在a[i]这个位置上加1
ans+=i-ask(a[i]);
}
printf("%d",ans);
return 0;
}
时间复杂度\(O(n\ log\ n)\)。
4.线段树
思想
逆序对可以表示成一个数前面有几个比这个数大的数，就表示这个数所形成的逆序对数。
我们查找就是：
找\(a[i]+1\)~\(Max\)的值。
我们加入就是:
\(a[i]\)这个位置的数量加\(1\)。
我们最后把查找到的所有对数输出即可。
但我们的数可能很大，我们这时就需要使用到离散化了。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[500005],lsh[500005],maxx;
struct SementTree{ int l,r,sum; }t[2000005];
void read(int &x) {
int f=1; x=0; char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
while(ch>='0' && ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
x*=f;
}
void init() {
sort(lsh+1,lsh+n+1);
unique(lsh+1,lsh+n+1)-lsh-1;
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(lsh+1,lsh+n+1,a[i])-lsh;
return ;
}
void build(int p,int l,int r) {
t[p].l=l,t[p].r=r,t[p].sum=0;
if(l==r) { return ; }
int mid=(l+r)>>1;
build(p<<1,l,mid),build(p<<1|1,mid+1,r);
return ;
}
void update(int p,int u) {
if(t[p].l==t[p].r) { t[p].sum++; return ; }
int mid=(t[p].l+t[p].r)>>1;
if(u<=mid) update(p<<1,u);
else update(p<<1|1,u);
t[p].sum=t[p<<1].sum+t[p<<1|1].sum;
return ;
}
int ask(int p,int l,int r,int ll,int rr) {
if(ll<=l && r<=rr) return t[p].sum;
int mid=(l+r)>>1;
int ans=0;
if(ll<=mid) ans+=ask(p<<1,l,mid,ll,rr);
if(mid<rr) ans+=ask(p<<1|1,mid+1,r,ll,rr);
return ans;
}
int main() {
read(n);
for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),lsh[i]=a[i],maxx=max(maxx,a[i]);
init();
build(1,0,maxx);
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
ans+=ask(1,0,maxx,a[i]+1,maxx);
update(1,a[i]);
}
printf("%d",ans);
return 0;
}
