P2158 [SDOI2008]仪仗队

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思路

我们其实可以发现，我们如果要\((x,y)\)这个点能被看见的话，我们就需要\(gcd(x,y)==1\)。

我们就可以打一个暴力：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans;

int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++) {
		for(int j=0;j<n;j++)
			if(__gcd(i,j)==1) ans++;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

提高+/省选-的题真不是这么好淦的啊！！！

我们其实画一下图就可以发现，我们能看见的人关于点\((0,0)\)~\((n-1,n-1)\)这条线对称，我们只需要处理一半就可以了（除了\((1,1),(0,1),(1,0)\)这三个点）。则可以发现\(ans=3+2\times\sum_{i=1}^{N-1} φ(i)\)。

\(φ(i)\)就是欧拉函数。

我们使用\(Eratosthenes\)筛法可以使用欧拉函数的计算公式在\(O(N\log N)\)的时间内处理出欧拉函数：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans,phi[40005];

void euler() {
	for(int i=2;i<n;i++) phi[i]=i;
	for(int i=2;i<n;i++) {
		if(phi[i]==i) {
			for(int j=i;j<=n;j+=i)
				phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
		}
	}
	return ;
}

int main() {
	scanf("%d",&n);
	if(n==1) {//我也不想这样啊，但不加是真的过不了啊。。。
		printf("0");
		return 0;
	}
	euler();
	for(int i=2;i<n;i++) ans+=2*phi[i];
	printf("%d",ans+3);
	return 0;
}

这样就可以\(AK\)了。

优化

但我们其实还可以优化的。
我们学习过欧拉函数就可以知道两个性质：
\(1.\)若\(p\mid n\)且\(p^2\mid n\)，则\(φ(n)=φ(n/p)\times p\)。
\(2.\)若\(p\mid n\)但\(p^2\nmid n\)，则\(φ(n)=φ(n/p)\times(p-1)\)。

在线性筛法中，每个合数\(n\)只会被它的最小质因数\(p\)筛一次，我们恰好可以在上面两条进行判断，从\(φ(n/p)\)递推到\(φ(n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans,phi[40005],cnt,prime[40005];
bitset<40005> check;

void euler() {
	for(int i=2;i<n;i++) {
		if(!check[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=cnt && i*prime[j]<n;j++) {
			check[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) {
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
	return ;
}

int main() {
	scanf("%d",&n);
	if(n==1) {
		printf("0");
		return 0;
	}
	euler();
	for(int i=2;i<n;i++) ans+=2*phi[i];
	printf("%d",ans+3);
	return 0;
}