图论之最短路
1.Floyd(弗洛伊德)
\(Floyd\)算法可以求出任意两点的最短路径，相当于求解\(n\)次单源最短路径问题，并且十分简单，时间复杂度为\(O(n^3)\)。
思想
Floyd算法是动态规划。我们设 \(f [ k ][ i ][ j ]\)表示“经过若干个标号不超过\(k\)的节点”从\(i\)到\(j\)的最短路长度。
其状态转移方程式为：
f[k][i][j]=min(f[k-1][i][j],f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]);
//其中初始值为f[k][i][j]=w[i][j](w为开头定义的邻接矩阵)
在这其中，k这一维可以去掉，其状态转移方程式为：
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,f[505][505],s,t;
int main() {
scanf("%d %d",&n,&m);//n个点,m条边
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++)
f[i][j]=0x3f3f3f3f;//因为我们是求最短路，所以一开始我们把数组设到无穷大
f[i][i]=0;//第i个点到第i个点需要的权值为0
}
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++) {
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);//从第u个点到第v个点的权值为0
f[u][v]=w;//因为是有向图，所以我们不加f[v][u]=w
}
for(int k=1;k<=n;k++) {//k个阶段，所以k在最外层
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++) {
if(f[i][j]>f[i][k]+f[k][j])
f[i][j]=f[i][k]+f[k][j];
}
}
}
scanf("%d %d",&s,&t);
printf("%d\n",f[s][t]);//从s到t的最短距离
return 0;
}
Floyd输出最短路径
\(Floyd\)算法输出路径也是采用记录前驱的方式。因为\(Floyd\)是计算任意两点间最短路径的算法，\(f[ i ][ j ]\)记录从\(i\)到\(j\)的最短路径值。故我们定义\(pre[i][j]\)为一个二维数组，记录从\(i\)到\(j\)的最短路径中，\(j\)的前驱点是哪一个。递归还原路径。
初始化:\(pre[n][n]\)为0，输入相连边时，重置相连边尾结点的前驱
若有无向边：\(pre[a][b]=a; pre[b][a]=b;\)
更新若\(Floyd\)最短路有更新，那么\(pre[i][j]=pre[k][j];\)
递归输出指两点\(s\)，\(t\)的最短路，先输出起点\(s\)，再将终点\(t\)放入递归，输出\(s+1--t\)的所有点。
void print(int x) {
if(pre[s][x]==0) return;
print(pre[s][x]);
printf(" %d",x);
}
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,f[505][505],s,t,pre[505][505];
void print(int x) {
if(pre[s][x]==0) return ;
print(pre[s][x]);
printf(" %d",x);
return ;
}
int main() {
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++)
f[i][j]=0x3f3f3f3f;
f[i][i]=0;
}
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++) {
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
f[u][v]=w,pre[u][v]=u;
}
for(int k=1;k<=n;k++) {
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++) {
if(f[i][j]>f[i][k]+f[k][j])
f[i][j]=f[i][k]+f[k][j],pre[i][j]=pre[k][j];
}
}
}
scanf("%d %d",&s,&t);
printf("%d\n%d",f[s][t],s);
print(t);
return 0;
}
传递闭包问题
给定若干个元素和若干对关系，如果关系具有传递性，“通过传递性推导出其他元素的关系”的问题叫做传递闭包。
我们可以建立\(f[ i ][ j ]\),其中\(f[ i ][ j ]=1\)时表示 \(i\) 和 \(j\) 之间有关系，\(f[ i ][ j ]=0\)时表示 \(i\) 和\(j\)之间没有关系，其中\(f[ i ][ i ]\)始终为\(1\)。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,f[505][505],s,t;
int main() {
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=1;
for(int i=1,u,v;i<=m;i++) {
scanf("%d %d",&u,&v);
f[u][v]=1;
}
for(int k=1;k<=n;k++) {
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++)
f[i][j] |= f[i][k] & f[k][j];
}
}
scanf("%d %d",&s,&t);
if(f[s][t]) printf("Yes");
else printf("No");
return 0;
}
Dijkstra(迪科斯彻)
给定一个带权有向图\(G=（V,E）\)，其中每条边的权是一个实数。另外，还给定\(V\)中的一个顶点，称为源点。要计算从源点到其他所有各顶点的最短路径长度。这里的长度就是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。
\(Dijkstra\)算法就是求单源最短路径问题。
思想
流程如下：
1.结点分成两组：已经确定最短路、尚未确定最短路
2.不断从第2组中选择路径长度最短的点放入第1组并扩展。
本质是贪心，只能应用于正权图
普通的Dijkstra算法O(n^2)
松弛操作
我们可以举一个栗子：
原来用一根橡皮筋直接连接\(i、j\)两点，现在有一点\(k\)，使得\(i->k->j\)比\(i->j\)的距离更短，则把橡皮筋改为\(i->k->j\) ，这样橡皮筋更加松弛。
代码如下：
if(dist[j]>dist[k]+w[k][j])
dist[j]=dist[k]+w[k][j];
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s,t,a[2505][2505],dist[2505];
bool vis[2505];
int main() {
scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&s,&t);
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++)
a[i][j]=0x3f3f3f3f;
a[i][i]=0,dist[i]=0x3f3f3f3f;
}
for(int i=1;i<=m;i++) {
int u,v,w;
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
a[u][v]=w,a[v][u]=w;
}
dist[s]=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
int x=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(!vis[j] && (dist[j]<dist[x] || x==0)) x=j;
if(!x) continue;
vis[x]=1;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(dist[j]>dist[x]+a[x][j]) dist[j]=dist[x]+a[x][j];
}
printf("%d",dist[t]);
return 0;
}
优化
我们可以发现\(i\)中的第\(1\)层循环是求最小值，我们完全可以用一个二叉堆来存储。
至于第\(2\)层循环是求相邻的边，但有些点根本没有相邻，我们可以用邻接表，直接省去循环那些不相邻的点。时间复杂度为\(O((m+n) log~2~^n)\)。
#include <bits/stdc++.h>
#include <queue>
using namespace std;
int n,m,s,t,cnt,head[2505],next[13005],ver[13005],edge[13005],dist[2505];
bitset<2505> vis;
struct lx{
int to,z;
bool operator <(const lx &x) const { return z>x.z; }
};
priority_queue<lx> q;
void add_edge(int u,int v,int w) { ver[++cnt]=v,edge[cnt]=w,next[cnt]=head[u],head[u]=cnt; }
int main() {
scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&s,&t);
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++) {
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
add_edge(u,v,w),add_edge(v,u,w);
}
for(int i=1;i<=n;i++) dist[i]=0x3f3f3f3f;
q.push((lx){s,0}),dist[s]=0;
while(q.size()) {
int u=q.top().to; q.pop();
if(vis[u]) continue;
vis[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=next[i]) {
int v=ver[i],w=edge[i];
if(dist[v]>dist[u]+w) dist[v]=dist[u]+w,q.push((lx){v,dist[v]});
}
}
printf("%d",dist[t]);
return 0;
}
真好看
Bellman-Ford(贝尔曼-福特)
思想
\(Bellman-Ford\)算法是松弛边，而\(Dijkstra\)算法是松弛点。
给定一张有向图，若对于图中的某一条边\((x,y,z)\)，有\(dist[y] \leqslant dist[x]+z\)成立，则称该边满足三角形不等式。若所有边都满足三角形不等式，则\(dist\)数组就是所求的最短路。
流程
1.扫描所有边\((x,y,z)\)，若\(dist[y]>dist[x]+z\)，则用\(dist[x]+z\)更新\(dist[y]\)。
2.直到没有更新。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s,t,dist[505];
struct lx{ int u,v,w; }a[20005];
int main() {
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1,q,w,e;i<=m;i++) {
scanf("%d %d %d",&q,&w,&e);
a[i].u=q,a[i].v=w,a[i].w=e;
}
scanf("%d %d",&s,&t);
for(int i=1;i<=n;i++) dist[i]=0x3f3f3f3f;
dist[s]=0;
for(int i=1;i<n;i++) {
for(int j=1;j<=m;j++) {
if(dist[a[j].v]>dist[a[j].u]+a[j].w)
dist[a[j].v]=dist[a[j].u]+a[j].w;
}
}
for(int i=1;i<=m;i++) {
if(dist[a[i].v]>dist[a[i].u]+a[i].w) {
printf("No Solution");
return 0;
}
}
printf("%d",dist[t]);
return 0;
}
输出路径
如果最短路径有多条,输出路径经过边数较小的解; 如果最短路径边数相同,输出编号较小的序列。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s,t,dist[505],pre[505];
struct node{ int u,v,w; }a[20005];
void print(int x) {
if(pre[x]==0) return ;
print(pre[x]);
printf(" %d",x);
return ;
}
int main() {
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d %d %d",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].w);
scanf("%d %d",&s,&t);
for(int i=1;i<=n;i++) dist[i]=0x3f3f3f3f,pre[i]=0x3f3f3f3f;
dist[s]=0,pre[s]=0;
for(int i=1;i<n;i++) {
for(int j=1;j<=m;j++) {
if(dist[a[j].v]>dist[a[j].u]+a[j].w) dist[a[j].v]=dist[a[j].u]+a[j].w,pre[a[j].v]=a[j].u;
else if(dist[a[j].v]==dist[a[j].u]+a[j].w) pre[a[j].v]=min(pre[a[j].v],a[j].u);
}
}
for(int i=1;i<=m;i++) {
if(dist[a[i].v]>dist[a[i].u]+a[i].w) {
printf("No Solution");
return 0;
}
}
printf("%d\n%d",dist[t],s);
print(t);
return 0;
}
SPFA(队列优化的Bellman-Ford)
1.将起始点入队。
2.循环，取出第一个点。
3.循环其边，如果可以优化，就优化。
4.如果优化后这个点没在队列中，就加入，循环第2点，直到队列中没有点。
代码
#include <bits/stdc++.h>
#include <queue>
using namespace std;
int n,m,s,t,cnt,head[100005],next[1000005],ver[1000005],edge[1000005],dist[100005];
queue<int> q;
bitset<100005> vis;
void add_edge(int u,int v,int w) { ver[++cnt]=v,edge[cnt]=w,next[cnt]=head[u],head[u]=cnt; }
int main() {
scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&s,&t);
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++) {
scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
add_edge(u,v,w),add_edge(v,u,w);
}
for(int i=1;i<=n;i++) dist[i]=0x3f3f3f3f;
dist[s]=0,vis[s]=1,q.push(s);
while(q.size()) {
int u=q.front(); q.pop();
vis[u]=0;
for(int i=head[u];i;i=next[i]) {
int v=ver[i],w=edge[i];
if(dist[v]>dist[u]+w) {
dist[v]=dist[u]+w;
if(!vis[v]) vis[v]=1,q.push(v);
}
}
}
printf("%d",dist[t]);
return 0;
}
