卢卡斯定理

1.卢卡斯定理用于求解大组合数取模的问题，其中模数必须为素数。
2.卢卡斯定理的具体表述：

$$C_n^m=C_{a0}^{b0}✖️C_{a1}^{b1}✖️C_{a2}^{b2}.....C_{ak}^{bk}(modp)=\prod _{i=0}^k{C}_{ai}^{bi}(modp);$$

(mod p)表示只在模p的条件下成立
这个式子又等价于

$$C_n^m=C_{n\mathrm{\%}p}^{m\mathrm{\%}p}{C}_{n/p}^{m/p}(modp);$$

3.这里不证明，因为我不会证明。

模版应用

/**   - swj -
   *         
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　　　　　 | 　_　 _|
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　　 　 /　　　 　 |
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　／￣|　　 |　|　|
　| (￣ヽ＿_ヽ_)_)
　＼二つ
 
**/
 
 
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
#define x first
#define y second
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define ull unsigned long long
int dx[]={0,1,0,-1};
int dy[]={1,0,-1,0};
 
//----卢卡斯定理--------------
//#define mod 1000000007
int n,m,mod;
int  qpow(int a,int n) //快速幂
{
    int res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
 
int C(int n,int m)//组合数
{
    if(n<m) return 0;
    if(m>n-m) m=n-m;
    int a=1,b=1;
    for(int i=0;i<m;i++){
        a=(a*(n-i))%mod;
        b=(b*(i+1))%mod;
    }
    return a*qpow(b,mod-2)%mod;
}
 
int lucas(int n,int m)//卢卡斯定理
{
    if(m==0) return 1;
    return lucas(n/mod,m/mod)*C(n%mod,m%mod)%mod;
}
 
//--------------------------------------
 
 
 
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
    int t=1;cin>>t;
    while(t--) {
        cin>>n>>m>>mod;
        cout<<lucas(n+m,n)<<endl;
    }
    
}
 
 

练习题
P3807 【模板】卢卡斯定理/Lucas 定理
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