生成树

对一个具有n个点的连通图进行遍历，对于遍历后的子图，其包含原图中所有的点且保持图连通，最后的结构一定是一个具有n-1条边的树，通常称为生成树。
右边两个子图，就是左边图的生成树。
在生成树问题中，最常见的就是最小生成树问题，所谓最小生成树，就是对于一个有n个点的无向连通图的生成树，其包含原图中的所有点，且保持图连通的边权总和最少的边。

简单来说，对于一个有n个点的图，边一定是大于等于n-1条的，最小生成树，就是在这些边中选择n-1条出来连接所有的n个点，且n-1条边点边权之和是所有方案中最小的。

最小生成树有以下两条性质：

• 切割性质：连接点x，y的边权最小的边必定被生成树包含
• 回路性质：任意回路/环上的边权最大的边必不被生成树包含

总结一下就是计算\(\color{red}{无向连通图的生成树的最小权值之和}\)

模版题
P3366 【模板】最小生成树

Kruskal算法

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int f[N],ans,cnt;
bool tmp;
struct edge{
	int x,y,z;
}e[N];
bool cmp(edge a,edge b){
	return a.z<b.z;
}
int find(int x){ return f[x]==x ? x : f[x]=find(f[x]); }
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i) f[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d %d %d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].z);
	sort(e+1,e+1+m,cmp);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int fx=find(e[i].x),fy=find(e[i].y);
		if(fx==fy) continue;
		f[fy]=fx;
		ans+=e[i].z;
		++cnt;
		if(cnt==n-1){
            tmp=1;
            break;
        }
	}
	if(tmp) printf("%d",ans);
    else puts("orz");
	return 0;
}

Prim算法

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int cnt,ans,dis[N];
vector<int>e[N],w[N];
bool vis[N];
struct node{
	int u,w;
};
bool operator < (node x,node y){
	return x.w>y.w;
}
priority_queue<node>q;
void prim(int n){
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	dis[1]=0; q.push(node{1,0}); 
	while(!q.empty()&&cnt<n){
		int u=q.top().u,W=q.top().w; q.pop();
		if(vis[u]) continue; vis[u]=1;
		ans+=W;
		++cnt; 
		for(int v,W,i=0;i<e[u].size();++i){
			v=e[u][i]; W=w[u][i];
			if(W<dis[v]){
				dis[v]=W;
				q.push(node{v,W});
			}
		}
	}
}
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	while(m--){
		int x,y,z;
		scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
		e[x].push_back(y);
		w[x].push_back(z);
		e[y].push_back(x);
		w[y].push_back(z);
	}
	prim(n);
	if(cnt==n) printf("%d",ans);
	else puts("orz");
	return 0;
}