如何理解似然函数?

作者：Yeung Evan
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在英语语境里，likelihood 和 probability 的日常使用是可以互换的，都表示对机会 (chance) 的同义替代。但在数学中，probability 这一指代是有严格的定义的，即符合柯尔莫果洛夫公理 (Kolmogorov axioms) 的一种数学对象（换句话说，不是所有的可以用0到1之间的数所表示的对象都能称为概率），而 likelihood (function) 这一概念是由Fisher提出，他采用这个词，也是为了凸显他所要表述的数学对象既和 probability 有千丝万缕的联系，但又不完全一样的这一感觉。中文把它们一个翻译为概率一个翻译为似然也是独具匠心。

先看似然函数的定义，它是给定联合样本值\bm{x}下关于(未知)参数\theta

的函数：

L(\theta | \bm{x}) = f(\bm{x} | \theta)

这里的小\bm{x}是指联合样本随机变量\bm{X}取到的值，即\bm{X} = \bm{x}；

这里的\theta是指未知参数，它属于参数空间；

这里的f(\bm{x}|\theta)是一个密度函数，特别地，它表示(给定)\theta下关于联合样本值\bm{x}

的联合密度函数。

所以从定义上，似然函数和密度函数是完全不同的两个数学对象，前者是关于\theta的函数，后者是关于\bm{x}的函数。所以这里的等号=

理解为函数值形式的相等，而不是两个函数本身是同一函数(根据函数相等的定义，函数相等当且仅当定义域相等并且对应关系相等)。

说完两者的区别，再说两者的联系。

（1）如果\bm{X}是离散的随机向量，那么其概率密度函数 f(\bm{x} | \theta)可改写为 f(\bm{x} | \theta) = \mathbb{P}_\theta(\bm{X} = \bm{x})，即代表了在参数\theta下随机向量\bm{X}取到值\bm{x}

的可能性；并且，如果我们发现

L(\theta_1 | \bm{x} ) = \mathbb{P}_{\theta_1}(\bm{X} = \bm{x}) > \mathbb{P}_{\theta_2}(\bm{X} = \bm{x}) = L(\theta_2 | \bm{x})

那么似然函数就反应出这样一个朴素推测：在参数\theta_1下随机向量\bm{X}取到值\bm{x}的可能性大于 在参数\theta_2下随机向量\bm{X}取到值\bm{x}的可能性。换句话说，我们更有理由相信(相对于\theta_2来说)\theta_1

更有可能是真实值。

（2）如果\bm{X}是连续的随机向量，那么其密度函数 f(\bm{x} | \theta)本身（如果在\bm{x}连续的话）在\bm{x}处的概率为0，为了方便考虑一维情况：给定一个充分小\epsilon > 0，那么随机变量X取值在(x - \epsilon, x + \epsilon)

区间内的概率即为

\mathbb{P}_\theta(x - \epsilon < X < x + \epsilon) = \int_{x - \epsilon}^{x + \epsilon} f(x | \theta) dx \approx 2 \epsilon f(x | \theta) = 2 \epsilon L(\theta | x)

并且两个未知参数的情况下做比就能约掉2\epsilon，所以和离散情况下的理解一致，只是此时似然所表达的那种可能性和概率f(x|\theta) = 0

无关。

综上，概率(密度)表达给定\theta下样本随机向量\bm{X} = \bm{x}的可能性，而似然表达了给定样本\bm{X} = \bm{x}下参数\theta_1(相对于另外的参数\theta_2

)为真实值的可能性。我们总是对随机变量的取值谈概率，而在非贝叶斯统计的角度下，参数是一个实数而非随机变量，所以我们一般不谈一个参数的概率。

最后我们再回到L(\theta | \bm{x}) = f(\bm{x} | \theta)这个表达。首先我们严格记号，竖线|表示条件概率或者条件分布，分号;表示把参数隔开。所以这个式子的严格书写方式是

L(\theta | \bm{x}) = f(\bm{x} ; \theta)

因为\theta在右端只当作参数理解。

posted @ 2017-07-04 14:04  嗷山  阅读(337)  评论(0)  编辑  收藏  举报