#loj3046 [ZJOI2019]语言
树链剖分入门题吧
一个非常直观的想法是使用树剖将一条链拆成\(log^2n\)个矩形,套用矩形面积并算法即可得到一个垃圾的3个log过不去算法
为了得到一个两个log的做法,我们观察一下拆出来的矩形的性质
首先是一堆跨越对角线的矩形,这一部分可以维护每个对角线处延伸出来的最大值线性得出
接下来如果我们令dfs序小的去数dfs序大的点,那么我们会发现矩形的第二维全部是重链的前缀
因此线段树可以被替换成每个重链上的multiset
此时的复杂度依然是3个log,仍然需要优化
接下来发现第一维是一段区间的矩形仅仅有\(O(nlogn)\)个,于是仅仅对这一部分开multiset维护,
剩余的都是前缀,倒着扫一遍重链然后使用一个变量记录最大值即可了
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<vector>
using namespace std;const int N=1e5+10;typedef long long ll;
int v[N<<1];int x[N<<1];int ct;int al[N];ll ans;ll tot;
inline void add(int u,int V){v[++ct]=V;x[ct]=al[u];al[u]=ct;}
int dfn[N];int nfd[N];int df;int top[N];int fa[N];
int h[N];int siz[N];int dep[N];int n;int m;
inline int dfs1(int u,int f)
{
for(int i=al[u];i;i=x[i])
if(v[i]!=f)
dep[v[i]]=dep[u]+1,fa[v[i]]=u,siz[u]+=dfs1(v[i],u),
h[u]=(siz[h[u]]<siz[v[i]])?v[i]:h[u];
return ++siz[u];
}
inline void dfs2(int u,int f)
{
dfn[++df]=u;nfd[u]=df;top[u]=top[u]?top[u]:u;
if(h[u])top[h[u]]=top[u],dfs2(h[u],u);
for(int i=al[u];i;i=x[i])
if(v[i]!=f&&v[i]!=h[u])dfs2(v[i],u);
}
namespace solver1
{
int mx;int add;int len[N];
inline void push(int x){mx=max(mx,x-add);}
inline void ins(int st,int le){
len[st]=max(len[st],le);}
inline void solve()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{push(len[i]);add--;ans+=max(0,mx+add);}
}
}
struct data{int id;int len;};
inline int mabs(int x){return (x<0)?-x:x;}
struct adv_pq
{
multiset <int> s;int mx;
inline void clear(){s.clear();mx=0;}
inline ll top()
{return (s.empty())?mx:max(mx,*s.rbegin());}
inline void push(data a)
{
tot-=top();
if(a.id<0)s.insert(a.len);else mx=max(mx,a.len);
tot+=top();
}
inline void pop(data a)
{
tot-=top();
s.erase(s.find(a.len));
tot+=top();
}
};
namespace solver2
{
vector <data> ins[N];vector <data> del[N];adv_pq su[N];
inline void solvechain(int l,int r)
{
tot=0;
for(int i=r;i>=l;i--)
{
for(vector <data> :: iterator it=ins[i].begin();it!=ins[i].end();++it)
su[mabs(it->id)].push(*it);
ans+=tot;
for(vector <data> :: iterator it=del[i].begin();it!=del[i].end();++it)
su[mabs(it->id)].pop(*it);
}
for(int i=r;i>=l;i--)
for(vector <data> :: iterator it=ins[i].begin();it!=ins[i].end();++it)
su[mabs(it->id)].clear();
}
inline void ins_rec(int fl,int fr,int id,int len)
{
if(top[dfn[fl]]==dfn[fl])
ins[fr].push_back((data){id,len});
else
ins[fr].push_back((data){-id,len}),
del[fl].push_back((data){-id,len});
}
}
int qu1[N];int qu2[N];int len1[N];int len2[N];
int hd1;int hd2;
inline void split(int u,int v)
{
hd1=0;hd2=0;
while(top[u]!=top[v])
{
if(dep[top[u]]<dep[top[v]])
qu2[++hd2]=v,v=fa[top[v]];
else
qu1[++hd1]=u,u=fa[top[u]];
}
if(nfd[u]<nfd[v])swap(u,v);
if(hd1&&hd2)
{
if(nfd[top[qu1[hd1]]]>nfd[top[qu2[hd2]]])
{
for(int i=1;i<=max(hd1,hd2);i++)swap(qu1[i],qu2[i]);
swap(hd1,hd2);
}
}
for(int i=1;i<=hd1;i++)
{
int mu=qu1[i];int mv=top[mu];
len1[i]=nfd[mu]-nfd[mv]+1;
solver1::ins(nfd[mv],len1[i]);
solver2::ins_rec(nfd[v],nfd[u],mv,len1[i]);
}
for(int i=1;i<=hd2;i++)
{
int mu=qu2[i];int mv=top[mu];
len2[i]=nfd[mu]-nfd[mv]+1;
solver1::ins(nfd[mv],len2[i]);
solver2::ins_rec(nfd[v],nfd[u],mv,len2[i]);
}
solver1::ins(nfd[v],nfd[u]-nfd[v]+1);
for(int i=1;i<=hd1;i++)
{
int mu=qu1[i];int mv=top[mu];
for(int j=1;j<i;j++)
solver2::ins_rec(nfd[mv],nfd[mu],top[qu1[j]],len1[j]);
for(int j=1;j<=hd2;j++)
solver2::ins_rec(nfd[mv],nfd[mu],top[qu2[j]],len2[j]);
}
for(int i=1;i<=hd2;i++)
{
int mu=qu2[i];int mv=top[mu];
for(int j=1;j<i;j++)
solver2::ins_rec(nfd[mv],nfd[mu],top[qu2[j]],len2[j]);
}
}
bool book[N];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1,u,v;i<n;i++)
scanf("%d%d",&u,&v),add(u,v),add(v,u);
dfs1(1,0);dfs2(1,0);
for(int i=1,u,v;i<=m;i++)
scanf("%d%d",&u,&v),split(u,v);
solver1::solve();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(book[i])continue;
int p=dfn[i];int cnt=0;
for(;p;p=h[p])book[nfd[p]]=true,cnt++;
solver2::solvechain(i,i+cnt-1);
}
printf("%lld",ans);
}