布尔矩阵

布尔矩阵及其运算

概念：

布尔矩阵（boolean matrix）或叫位矩阵（bit matrix）是元素为0或1的矩阵；

运算：

1，补（compiement）

设A=[a_ij]是一个m×n的布尔矩阵，补就是把原矩阵中的0变为1，1变为0；

2，并（join）

设A=[a_ij],B=[b_ij],是两个m×n的矩阵则并为AνB=C=[c_ij],其中

cij= 1 若a_ij=1或b_ij=1；

cij= 0 若aij=0且bij=0；

直观地：将A，B中的0去掉，重叠两个矩阵之后，补上0即可

3，交（meet）

设A=[aij],B=[bij],是两个m×n的矩阵则交为AΛB=D=[d_ij],其中

d_ij= 1 若a_ij=1且b_ij=1；

d_ij= 0 若a_ij=0或b_ij=0；

直观地：将A，B中的1去掉，重叠两个矩阵之后，补上1即可

4，布尔积（boolean product）

设A=[a_ij],B=[b_ij],是两个m×n的布尔矩阵，则定义A和B的布尔积为A×B=C=[c_ij]；

c_ij= 1 若存在k（1≤k≤n）使得a_ik=1且b_kj=1；

c_ij= 0 否则；

布尔矩阵的积cij对应的A里的i行和B里的j行对应元素进行与操作，之后多所有的与操作或一下；

差异：

1，普通矩阵乘法

AXB=C=[c_ij]

   c_ij=∑_k（a_ik×b_kj）

2，布尔矩阵

A×B=C=[c_ij]

   c_ij=ν_k（a_ikΛb_kj）

 

5，一些规律

假设布尔矩阵A,B,C具有兼容大小，则

a）交换律

          AVB=BVA, AΛB=BΛA

b）结合律

(AVB)VC=AV(BVC)

(AΛB)ΛC=AΛ(BΛC)

(AXB)XC=AX(BXC)

c）分配律

AΛ(BVC)=（AΛB)V(AΛC)

AV(BΛC)=(AVB)Λ(AVC)

d） 转置

           (AVB)^T=A^TVB^T 

(AΛB)^T=A^TΛB^T

   （A^TXB^T)=B^TXA^T