0x01 位运算

0x01 位运算

定义

bit是度量信息的单位，包含\(0\)和\(1\)两个汇总状态，这种操作的速度很快！！！
首先来定义一下算术位运算

与：\(and,\&\)
或：\(or,|\)
非：\(not,~\)
异或：\(xor,ˆ\)
(\(ˆ\)这个符号通常不实用)

移位运算

左移

\[1<<n = 2^n\,\,\,n<<1=2n \]

右移

算数右移

\[n>>1 = \left \lfloor \frac{n}{2.0} \right \rfloor \]

逻辑右移

略（基本上不会用到）

\(aˆb^{\,\,CH0101}\)

\[求a的b次方对p取模的值，其中1\leq a,b,p \leq10^9 \]

标准算法（跟位运算无关）

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int a, b, p;
	cin >> a >> b >> p;
	unsigned long long ans = 1;
	for (int i = 0; i < b; i++)
	{
		ans *= a;
		ans %= p;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

如果去评测：恭喜你

TLE

因为大数据肯定超时。
于是就需要快速幂！

long long power(int a,int b,int p){
	int ans = 1%p;
	for(;b;b>>=1)
	//for(;b;b/2.0)
	{
		if(b&1)ans = (long long)ans*a%p;
		a=(long long)a*a%p;
	}
	return ans;
}

问题又来了，如果遇到这道题

\(64\text{位整数乘法}^{CH0102}\)

\[求a的b次方对p取模的值，其中1\leq a,b,p \leq10^{20} \]

那就不香了，连\(long\,\,long\)都存不下了，那就尴尬了。

方法一

类似于快速幂，把\(b\)用二进制表示，得到结果。

\[b = c_{k-1}\cdot 2^{n-1} + c_{k-2}\cdot 2^{n-2} + \cdots + c_{0}\cdot 2^{0} \]

\[\text{于是}a\cdot b = c_{k-1}\cdot 2^{n-1} \cdot a + c_{k-1}\cdot 2^{n-1} \cdot a + \cdots +c_{0}\cdot 2^{0} \cdot a \]

\[\because a\cdot 2^i = (a\cdot 2^{i-1})\cdot 2 \text{在运算时每一项都不会超过}2 \cdot 10^{18} \]

\[\therefore \text{这种方法很香啊,而且时间复杂度是} O(log_2 b)!!! \]

#define ll long long 
ll mul(ll a, ll b, ll c){
    long long ans = 0;
    for(; b; b >>= 1){
        if (b & 1) ans = (ans + a) % p;
        a = a * 2 % p;
    }
    return ans;
}

方法二

利用$ a\cdot b,,mod,,p =,,a,,*,,b ,,-,,\lfloor \frac{a\cdot b}{p} \rfloor \cdot p$ 这个公式。
首先， \(a , b \le p\) 时，这个可以直接完成运算，英文我们不需要其他的精度位，而如果数据很大，只需要考虑比较低位的数据，那就很香了。

#define ll long long
ll mul(ll a, ll b, ll c){
    a %= p, b %= p;
    ll c = (long double) a * b / p;
    ll ans = a * b - c * p
    if (ans < 0) ans += p;
    else if (ans >= p) ans -= p;
    return ans;
}

今天就先到这里了，二进制状态压缩请看这里