【转】最大权闭合图

转自:http://www.cnblogs.com/wuyiqi/archive/2012/03/12/2391960.html

性质:

最大权闭合图的权值=原图中权值为正的点的和-最小割；

闭合图:在一个图中，我们选取一些点构成集合，记为V，且集合中的出边(即集合中的点的向外连出的弧)，所指向的终点(弧头)也在V中，则我们称V为闭合图。

最大权闭合图:即在所有闭合图中，集合中点的权值之和最大的V，我们称V为最大权闭合图。

建图后的网络的简单割不含原图G边集的任意一条边，又简单割必须和s或t相连。闭合图与简单割一一对应。取到最小割时，图G闭合图取到最大权。（权是图的，割是网络的）

上图中闭合图有

     {5}、{2,5}、{4,5}

     {2,4,5}、{3,4,5}

     {1,2,3,4,5}、{1,2,4,5}

最大权闭合图为{3,4,5}。

在许多实际应用中，给出的有向图常常是一个有向无环图（DAG） ，闭合图的性质恰好反
映了事件间的 必要条件的关系：一个事件的发生，它所需要的所有前提也都要发生。一个常
见的例子就是制定大学的选课计划，其中一些课程需要以另一些课程为基础，这就是给出了
有向无环图。若给所有课程打分，最大权闭合图对应了获益最大或效率最高的选课计划，解
决了这个问题，就可以容易地选出一个最合理的选课计划。

在另外一些实际应用中，给出的是一个一般有向图，即有可能出现圈。常见的例子就是
工程分期，一个工程可能含有很多项目，项目之间也有依赖关系。有些项目是需要同期一起
开发， 互相依赖的（即出现圈） 。这样，也可以利用最大权闭合图，将最先应该完成的项目选
出来作为工程的第一期。

下面给出将原问题的图 G 转化为网络N = (Vn ,En )的方法，从而转化为最小割模型。

在原图点集的基础上增加源 和汇 t ；将原图每条有向边容量为无穷，设立源点s向图中正权值的点连边，容量为该点的值，

设立汇点t，图G中权值为负的点向t连边，权值为该点值得绝对值。

上图转变成网络N。

 

定义:若一个s-t割满足割中的每条边只与源或汇点关联，称该割为简单割。
s-t割满足割中的每条边只都与源 或汇 关联，称该割为简单割。根据定义网络N中的简单割不包含图G中的任一边（因为不相连）。

1. 在本问题的网络 中，最小割是简单割。

证明: 那么为什么最小割是简单割呢？因为除S和T之外的点间的边的容量是正无穷，最小割的容量不可能为正无穷。所以，得证。

2.网络中的简单割与原图中闭合图存在一一对应的关系(即所有闭合图都是简单割，简单割也必定是一个闭合图)。

证明闭合图是简单割：如果闭合图不是简单割(反证法)。那么说明有一条边是容量为正无穷的边，则说明闭合图中有一条出边的终点不在闭合图中，矛盾。

证明简单割是闭合图：因为简单割不含正无穷的边，所以不含有连向另一个集合(除T)的点，所以其出边的终点都在简单割中，满足闭合图定义。得正。

3.最小割所产生的两个集合中，其源点S所在集合(除去S)为最大权闭合图。

 则C=（M中所有权值为正的点的权值(即S与M中点相连的边的容量)+N中所有权值为负的点权值的绝对值(即N中点与T中点相连边的容量)）。记(C=x1+y1);

 

 我们记N这个闭合图的权值和为W。

 

        则W=N中权值为正的点的权值-N中权值为负的点的权值的绝对值。记(W=x2-y2);

 

        则W+C=x1+y1+x2-y2。

 

        因为明显y1=y2，所以W+C=x1+x2;

 

        x1为M中所有权值为正的点的权值，x2为N中权值为正的点的权值。

 

        所以x1+x2=所有权值为正的点的权值之和(记为TOT).

 

        所以我们得到W+C=TOT.整理一下W=TOT-C.（c表示简单割）。

TOT为定值，所以c为最小割的时候w最大。