km算法
今天花了些时间学了下km算法 看了下代码有点大概思路，还是要多做题；
Kuhn－Munkras算法流程：
(1)初始化可行顶标的值
(2)用匈牙利算法寻找完备匹配
(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值
(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止
引用：
KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。
设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B [i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终 成立。
KM算法的正确性基于以下定理：
若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；
如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，
直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。
这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：
两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。
现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。
以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶 标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，
复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数 slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。
在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A [i]+B[j]-w[i,j]的较小值。
这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改 顶标后，要把所有的slack值都减去d。
最后把值加起来就ok。
//KM算法求最小权二分匹配，模板题，构图很简单，直接把人当作左边的点，房子当作右边的点， //两者之间的曼哈顿距离当作权值即可。第一次搞带权二分匹配的题，就是用KM算法求最小权的时候要加个处，由于KM求的是最大权， //所以在套模板之前把权值都取下相反值最后再把KM算法求出来的最大权值取反即可。 //poj2195 km算法 #include<stdio.h> #include<string.h> #include<stdlib.h> #define INF 99999999 char map[103][103]; int n,m,g[103][103],visr[103],visl[103],pr[103],pl[103],match[103],num,slack[103]; struct node { int x; int y; }mm[103],hh[103]; int dfs(int u) { int i,j,val; visl[u]=1; for(i=0;i<num;i++) { if(!visr[i]) { val=pl[u]+pr[i]-g[u][i]; if(val==0)//即满足匹配条件 { visr[i]=1; if(match[i]==-1||dfs(match[i])) { match[i]=u; return 1; } } if(val>0&&val<slack[i]) slack[i]=val; } } return 0; } int km() { int i,j,res,d; res=0; memset(pr,0,sizeof(pr));//右边的值为0 for(i=0;i<num;i++)//左边的值为INF pl[i]=INF; memset(match,-1,sizeof(match));//匈牙利算法 for(i=0;i<num;i++) { for(j=0;j<num;j++)//辅助数组slack[]初始为无穷大 slack[j]=INF; while(1)//死循环知道有满足的匹配为止 { memset(visl,0,sizeof(visl)); memset(visr,0,sizeof(visr)); if(dfs(i))break;//匹配成功结束 d=INF; for(j=0;j<num;j++) if(!visr[j]&&d>slack[j])//找到一个改进量dx，dx=min{Li+Lj-wi,j}(i∈S,j不∈T) d=slack[j]; //Li=Li-dx (i∈S) for(j=0;j<num;j++) //Li=Li+dx (i∈T) { //重复以上过程，不断的调整L，直到求出完备匹配为止。 if(visl[j]) pl[j]-=d; if(visr[j]) pr[j]+=d; } } } for(j=0;j<num;j++) res+=g[match[j]][j]; return res; } int main() { int i,j; while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { if(!n&&!m)break; for(i=0;i<n;i++) scanf("%s",map[i]); int numm,numh; numm=numh=0; for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<m;j++) { if(map[i][j]=='m')//记录人所在的坐标 { mm[numm].x=i;mm[numm++].y=j; } if(map[i][j]=='H')//记录房子所在的坐标 { hh[numh].x=i;hh[numh++].y=j; } } } //建图 num=numm; for(i=0;i<numm;i++) { for(j=0;j<numm;j++) { g[i][j]=-(abs(hh[i].x-mm[j].x)+abs(hh[i].y-mm[j].y));//任何人和任何房子间的距离 } } /*for(i=0;i<num;i++) { for(j=0;j<num;j++) printf("%d ",g[i][j]); printf("\n"); }*/ int ans=km(); printf("%d\n",-ans); } }
1 //hdu2255 竟然700+ms 2 #include<stdio.h> 3 #include<string.h> 4 #define INF 99999999 5 #define maxn 303 6 int map[maxn][maxn],match[maxn],visl[maxn],visr[maxn],pr[maxn],pl[maxn],slack[maxn]; 7 int n,m; 8 int dfs(int u) 9 { 10 int i,j,val; 11 visl[u]=1; 12 for(i=1;i<=n;i++) 13 { 14 if(!visr[i]) 15 { 16 val=pl[u]+pr[i]-map[u][i]; 17 if(val==0) 18 { 19 visr[i]=1; 20 if(match[i]==-1||dfs(match[i])) 21 { 22 match[i]=u; 23 return 1; 24 } 25 } 26 if(val>0&&val<slack[i]) 27 slack[i]=val; 28 } 29 } 30 return 0; 31 } 32 int km() 33 { 34 int i,j,res,d; 35 res=0; 36 memset(pr,0,sizeof(pr)); 37 for(i=1;i<=n;i++) 38 pl[i]=INF; 39 memset(match,-1,sizeof(match)); 40 for(i=1;i<=n;i++) 41 { 42 for(j=1;j<=n;j++) 43 slack[j]=INF; 44 while(1) 45 { 46 memset(visl,0,sizeof(visl)); 47 memset(visr,0,sizeof(visr)); 48 if(dfs(i))break; 49 d=INF; 50 for(j=1;j<=n;j++) 51 { 52 if(!visr[j]&&d>slack[j]) 53 d=slack[j]; 54 } 55 for(j=1;j<=n;j++) 56 { 57 if(visr[j]) 58 pr[j]+=d; 59 if(visl[j]) 60 pl[j]-=d; 61 } 62 } 63 } 64 for(i=1;i<=n;i++) 65 res+=map[match[i]][i]; 66 return res; 67 } 68 int main() 69 { 70 int i,j; 71 while(scanf("%d",&n)!=EOF) 72 { 73 for(i=0;i<=n;i++) 74 for(j=0;j<=n;j++) 75 { 76 if(i==j)map[i][j]=0; 77 else map[i][j]=INF; 78 } 79 for(i=1;i<=n;i++) 80 { 81 for(j=1;j<=n;j++) 82 { 83 int z; 84 scanf("%d",&z); 85 map[i][j]=z; 86 } 87 } 88 int ans=km(); 89 printf("%d\n",ans); 90 } 91 }
