[Fundamental of Power Electronics]-PART I-2.稳态变换器原理分析-2.2 伏秒平衡/安秒平衡 小纹波近似

2.2 电感伏秒平衡、电容充放电平衡以及小纹波近似

让我们更加仔细地观察图2.6中的buck变换器的电感和电容的波形。我们是不可能设计一个滤波器能够只允许直流分量通过而完全滤除开关频率次谐波的。所以，低通滤波器允许非常少含量的高频谐波输出。因此，图2.7所示的输出电压$v(t)$波形实际上可表达为：

$$v(t)=V+v_{ripple}(t) \tag{2.4}$$

Fig 2.6 Buck converter containing practical low-pass filter

所以，实际输出电压$v(t)$就包含了直流分量$V$，加上由于低通滤波器不能完全滤除的高频谐波$v_{ripple}(t)$。为观察明显，图2.7中夸大了谐波$v_{ripple}(t)$的幅值。

Fig 2.7 Actual output voltage waveform

在任何设计优良的变换器中，输出电压的开关频率纹波都应较小，因为目标是产生直流输出。例如，在具有3.3 V输出的计算机电源中，通常要求开关纹波小于几十mV或小于直流分量的1%。因此，我们假设开关频率次纹波的幅值远小于直流分量是一个很好的近似。

$$|v_{ripple}|<<V \tag{2.5}$$

因此，在忽略小纹波$v_{ripple}$前提下，输出电压$v(t)$可以很好的近似为其直流分量$V$

$$v(t)\approx{V} \tag{2.6}$$

这种近似称为小纹波近似，或线性纹波近似，其本书中使用大大简化了转换器波形的分析。

接下来让我们分析电感电流波形。我们可以通过对电感电压波形积分得到电感电流。在开关处于位置1的情况下，电感的左侧连接到输入电压$V_{g}$，电路图简化为图2.8（a）。电感电压$V_{L}(t)$可以得到为：

$$v_{L}=V_{g}-v(t) \tag{2.7}$$

Fig 2.8 Buck converter analysis: inductor current waveform

如上所述，输出电压$v(t)$由直流分量V加上很小的交流纹波项组成。这里我们可以采用式(2.6)的小纹波近似，用直流分量代替输出电压

$$v_{L}=V_{g}-V \tag{2.8}$$

因此，在开关处于位置1的情况下，电感电压基本恒定等于$V_{g}-V$，如图2.9所示。已知电感电压波形后，可以采用下式得到电感电流：

$$v_{L}(t)=L\frac{d i_{L}(t)}{dt} \tag{2.9}$$

Fig 2.9 Inductor voltage waveforms

因此，在第一个时间间隔内，当电感电压$v_{L}(t)$近似等于$V_{g}-V$时，电感电流波形的斜率约为:

$$\frac{di_{L}(t)}{dt}=\frac{v_{L}(t)}{L}\approx\frac{V_{g}-V}{L} \tag{2.10}$$

其实就是式(2.9)除以电感L，再代入式(2.8)。由于开关处于位置1时电感电压基本恒定，因此电感电流斜率基本恒定，电感电流线性变化。

类似的方法，当开关处于位置2时，波形为第二个区间。电感左侧连接到地，表示为图2.8(b)所示。电感的电压和电流极性定义始终保持一致是非常重要的。特别的，在图2.7和2.8中一致的定义了电感电压的极性，因此电感电压在第二个区间内为：

$$v_{t}=-v(t) \tag{2.11}$$

利用式(2.6)的小谐波近似方法(即忽略谐波成分)得到：

$$v_{t}=-V \tag{2.12}$$

因此，当开关处于位置2时，电感电压也基本恒定，如图2.9所示。代入式(2.12)转化为(2.9)得到电感电流斜率的解：

$$\frac{di_{L}(t)}{dt}=-\frac{V}{L} \tag{2.13}$$

因此，在第二个间隔期间，电感电流以负极性且基本恒定的斜率变化。

现在，我们可以绘制电感电流波形图（图2.10）。电感电流从某个初始值$i_{L}(0)$开始。在第一个子间隔期间，当开关处于位置1时，电感电流会按照方程式(2.10)中给出的斜率增加。随着时间的变化，当$t=DT_{s}$开关切换到位置2。然后，电流以方程式(2.13)给定的恒定斜率减小。随后，当$t=T_{s}$时，开关又回到位置1，然后重复该过程。

Fig 2.10 Inductor current waveforms

计算电感电流的纹波$\Delta{i_{L}}$非常重要,如图2.10所示，电感电流峰值等于直流分量$I$加上峰值到平均值偏差纹波$\Delta{i_{L}}$。这个峰值电流不仅流经电感，它还会流过构成开关的半导体器件。因此，在确定这些器件的额定值时，必须要知道峰值电流。

由于我们知道了第一个区间电感电流斜率大小，同时也知道了其区间时间间隔长度，因此我们可以计算出纹波的幅值。电感电流$i_{L}(t)$是关于平均值$I$对称的，因此在第一个时间区间内，电流增加了$2\Delta{i_{L}}$。因此，电流变化量$2\Delta{i_{L}}$等于电流变化斜率乘以时间区间长度：

$$2\Delta{i_{L}}=\frac{V_{g}-V}{L}DT_{s} \tag{2.14}$$

求解得到：

$$\Delta{i_{L}}=\frac{V_{g}-V}{2L}DT_{s} \tag{2.15}$$

一般情况下，纹波电流典型值为直流分量$I$满载时的10%-20%之间。当然，纹波值也不允许太大，这样会造成流过电感和半导体器件峰值电流过大，增加其成本。(译者：当然，电感需要更多讨论，电感器大小与感值和功率均有关系，这里不详细讨论)因此一般设计时，电流纹波相对直流分量而言通常较小。对于电感电流而言，采用前述的小纹波近似也就是合理的。(即：忽略纹波值，以平均值代替计算分析)

在获得纹波电流计算公式后，我们可以根据纹波大小$\Delta{i_{L}}$设计电感值，求解式(2.15)可得：

$$L=\frac{V_{g}-V}{2\Delta{i_{L}}}DT_{s} \tag{2.16}$$

当然，完全有可能精确地求解转换器，而无需使用小纹波近似。例如，可以使用拉普拉斯变换来为图2.8(a)和2.8(b)的电路的波形编写表达式。然后可以将变换求逆，匹配边界条件，并找到电路的周期性稳态解。这样做之后，便可以找到波形的直流分量和峰值。但这样工作量太大，并且结果几乎总是很复杂的。此外，由于波动很小且不希望出现，因此写一些方程来精确描述波动所涉及的额外工作完全是浪费时间。小纹波近似很容易应用，并且可以快速得到变换器波形的直流分量的简单表达式。

图2.10的电感电流波形是在稳态条件下绘制的，变换器处于平衡状态。接下来，让我们考虑一下变换器首次开关时电感电流会发生什么情况。假设电感电流和输出电流初始值为0，然后施加输入电压$V_{g}$。如图2.11所示，$i_{L}(0)$是0。在第一个子间隔区间，将开关置于位置1，我们知道电此时输出电压初始值为0，电感电流以斜率$\frac{V_{g}-V}{L}$上升。接下来，将开关置于位置2，电感电流将以斜率$-\frac{v}{L}$变化，而此时的v很小，因此该斜率实质上接近0。可以看到，由于$i_{L}(T_{s})$大于$i_{L}(0)$，电感电流在第一个开关周期内是净增加的。由于电感电流流向输出，因此输出电容将缓慢充电，而v将缓慢增加。该过程在第二个及后续的开关周期中重复，电感电流在每个子间隔1内增加，在每个子间隔2内减小。

Fig 2.11 Inductor current waveform during turn-on transient

随着输出电容继续充电且v增加，子间隔1期间的斜率减小，而子间隔2期间的斜率变得更负。最终，到达子间隔1期间电感器电流的增加等于子间隔2期间电感器电流的减小的点，于是在整个开关周期内电感器电流没有净变化，并且变换器在稳态下工作。变换器波形是周期性的：$i_{L}(nT_{s})=i_{L}({(n+1)T_{s}})$从这一点开始，电感器电流波形如图2.10所示。

在平衡状态下，一个开关周期内电感电流的净变化为零的要求使我们找到了一种在任何开关变换器中找到稳态条件的方法：电感器伏秒平衡原理。给定定义关系：

$$v_{L}(t)=\frac{di_{L}(t)}{dt} \tag{2.17}$$

对一个完整周期进行积分：

$$i_{L}(T_{s})-i_{L}(0)=\frac{1}{L}{\int_0^{T_{s}}}v_{L}(t)dt \tag{2.18}$$

该方程式表明，在一个开关周期内电感电流的净变化由方程式(2.18)的左侧给出。 其与整个时间间隔内施加的电感器电压的积分成比例。在稳态下，电感器电流的初始值和最终值相等，因此等式(2.18)的左侧为零。在稳态下，施加的电感电压的积分必须为零：

$$0={\int_0^{T_{s}}}v_{L}(t)dt \tag{2.19}$$

式(2.19)的右侧单位是伏秒或者磁链，其表明，$v_{L}(t)$波形的面积或者说净伏秒数必须是0。
两边同时除以控制周期$T_{s}$，可以得到等效公式为：

$$0=\frac{1}{T_{s}}{\int_0^{T_{s}}}v_{L}(t)dt=<v_{L}> \tag{2.20}$$

式(2.20)的右边被认为是$v_{L}$的平均值或者是直流分量。其表明，在平衡状态下，电感电压必须具有零直流分量，或者说平均值为0。

图2.9中的电感电压波形如图2.12所示。$v_{L}(t)$下的曲线面积$\lambda$被明确标识出来了，总面积由两个矩形的面积之和，或者为：

$$\lambda=\int_0^{T_{s}} v_{L}(t) dt =(V_{g}-V)(D T_{s})+(-V)(D^{'} T_{s}) \tag{2.21}$$

Fig 2.12 Inductor voltage waveform

因此，平均值为：

$$<v_{L}>=\frac{\lambda}{T_{s}}=D (V_{g}-V)+D^{'}({-V}) \tag{2.22}$$

令$v_{L}=0$，并且由于$D+D^{'}=1$，可以得到：

$$0=D V_{g}-(D+D^{'})V =DV_{g}-V \tag{2.23}$$

求解得到$V$：

$$V=DV_{g} \tag{2.24}$$

与先前式(2.3)获得的结果一致。因此，电感伏秒平衡原理允许我们推导变换器输出电压的直流分量的表达式。这种方法的优点是它的通用性：它可以应用于任何变换器。这种方法可以容易画出电感电压波形，且其平均值等于零。本章稍后将使用此方法来分析几个更复杂的变换器。

类似的方法还可以应用于电容，电容特性的方程可表示为：

$$i_{C}=C \frac{dv_{C}}{dt} \tag{2.25}$$

对上式在一个周期内进行积分：

$$v_{C}(T_{s})-v_{C}(0)=\frac{1}{C} \int_0^{T_{s}} i_{C}(t)dt \tag{2.26}$$

在稳态下，电容电压在一个开关周期内的净变化必须为零，因此等式(2.26)的左侧等于零。因此，在平衡状态下，一个开关周期上的电容器电流积分（具有安培秒或电荷的大小）应为零。稳定状态下电容器电荷没有净变化。等效方程是：

$$0=\frac{1}{T_{s}} \int_0^{T_{s}} i_{C}(t)dt=<i_{C}> \tag{2.27}$$

也就是，平衡状态时，电容电流的平均值或者说直流分量必须是0。

这其实也应该是一个很直观的结果。如果将直流电流始终流入电容，则电容将连续充电并且其电压将无限制地增加。同样，如果将直流电压施加到电感两端，则磁通将连续增加，并且电感电流将无限制地增加。公式(2.27)被称为电容安-秒平衡或电容器电荷平衡原理，可用计算开关变换器中的稳态电流。