第三次作业

5、给定如表4-9所示的概率模型，求出序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签。

答：

定义随机变量X(a_i)=i，假定我们对113231进行编码。

已知：F_x(k)=0,k≤0,F_x(1)=0.2,F_x(2)=0.5,F_x(3)=1,F_x(k)=1,k>3

且u⁽⁰⁾=1，l⁽⁰⁾=0。公式：u^(k)=l^(k-1)+(u^(k-1)-l^(k-1))F_X(x_k),      l^(k)=l^(k-1)+(u^(k-1)-l^(k-1))F_X(x_k-1)。

运用公式得：

该序列的第一个元素为1，得到以下更新：

l⁽¹⁾=0+(1-0)*0=0

u⁽¹⁾=0+(1-0)*0.2=0.2

所以该标签 包含在区间[0,0.2)中。

该序列的第二个元素为1，得到以下更新：

l⁽²⁾=0+(0.2-0)*0=0

u⁽²⁾=0+(0.2-0)*0.2=0.04

所以该标签 包含在区间[0,0.04)中。

该序列的第三个元素为3，得到以下更新：

l⁽³⁾=0+(0.04-0)*0.5=0.02

u⁽³⁾=0+(0.04-0)*1=0.04

所以该标签 包含在区间[0.02,0.04)中。

该序列的第四个元素为2，得到以下更新：

l⁽⁴⁾=0.02+(0.04-0.02)*0.2=0.024

u⁽⁴⁾=0.02+(0.04-0.02)*0.5=0.03

所以该标签 包含在区间[0.024,0.03)中。

该序列的第五个元素为3，得到以下更新：

l⁽⁵⁾=0.024+(0.03-0.024)*0.5=0.027

u⁽⁵⁾=0.024+(0.03-0.024)*1=0.03

所以该标签 包含在区间[0.027,0.03)中。

该序列的第六个元素为1，得到以下更新：

l⁽⁶⁾=0.027+(0.03-0.027)*0=0.027

u⁽⁶⁾=0.027+(0.03-0.027)*0.2=0.0276

所以该标签 包含在区间[0.027,0.0276)中。

可以生成序列113231的标签如下：

T_x(113231)=(0.027+0.0276)/2=0.0273

 即T_x(a1a1a3a2a3a1)=(0.027+0.0276)/2=0.0273

 

 

6、对于表4-9所示的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

  答：已知tag=0.63215699，F_x(k)=0, k≤0, F_x(1)=0.2, F_x(2)=0.5, F_x(3)=1, k>3.

        设u⁽⁰⁾=1，l⁽⁰⁾=0。

则l^(k) =l^(k-1) +(u^(k-1) -l^(k-1) )F_x(x_k-1)，   u^(k) =l^(k-1) +(u^(k-1) -l^(k-1) )F_x(x_k)

 t^*=(tag-l^(k-1))/(u^(k-1) -l^(k-1))。

得：

 t^*=(0.63215699-0)/(1-0)=0.63215699

  F_x(2)≤t^*≤F_x(3)

l⁽¹⁾ =l⁽⁰⁾ +(u⁽⁰⁾ -l⁽⁰⁾ )F_x(2)=0+(1-0)*0.5=0.5

u⁽¹⁾ =l⁽⁰⁾ +(u⁽⁰⁾ -l⁽⁰⁾ )F_x(3)=0+(1-0)*1=1

所以，第一个序列为：a₃

 

 t^*=(0.63215699-0.5)/(1-0.5)=0.264314

  F_x(1)≤t^*≤F_x(2)

l⁽²⁾ =l⁽¹⁾ +(u⁽¹⁾ -l⁽¹⁾ )F_x(1)=0.5+(1-0.5)*0.2=0.6

u⁽²⁾ =l⁽¹⁾ +(u⁽¹⁾ -l⁽¹⁾ )F_x(2)=0.5+(1-0.5)*0.5=0.75

所以，第二个序列为：a₂

 

 t^*=(0.63215699-0.6)/(0.75-0.6)=0.2143799

  F_x(1)≤t^*≤F_x(2)

l⁽³⁾ =l⁽²⁾ +(u⁽²⁾ -l⁽²⁾ )F_x(1)=0.6+(0.75-0.6)*0.2=0.63

u⁽³⁾ =l⁽²⁾ +(u⁽²⁾ -l⁽²⁾ )F_x(2)=0.6+(0.75-0.6)*0.5=0.675

所以，第三个序列为：a₂

 

 t^*=(0.63215699-0.63)/(0.675-0.63)=0.04793311

  F_x(0)≤t^*≤F_x(1)

l⁽⁴⁾ =0.63+(0.675-0.63)*0=0.63

u⁽⁴⁾ =0.63+(0.675-0.63)*0.2=0.639

所以，第四个序列为：a₁

 

 t^*=(0.63215699-0.63)/(0.639-0.63)=0.2396656

  F_x(1)≤t^*≤F_x(2)

l⁽⁵⁾ =0.63+(0.639-0.63)*0.2=0.6318

u⁽⁵⁾ =0.63+(0.639-0.63)*0.5=0.6345

所以，第五个序列为：a₂

 

 t^*=(0.63215699-0.6318)/(0.6345-0.6318)=0.1322185

  F_x(0)≤t^*≤F_x(1)

l⁽⁶⁾ =0.6318+(0.6345-0.6318)*0=0.6318

u⁽⁶⁾ =0.6318+(0.6345-0.6318)*0.2=0.63234

所以，第六个序列为：a₁

 

t^*=(0.63215699-0.6318)/(0.63234-0.6318)=0.6610926

  F_x(2)≤t^*≤F_x(3)

l⁽⁷⁾ =0.6318+(0.63234-0.6318)*0.5=0.63207

u⁽⁷⁾ =0.6318+(0.63234-0.6318)*1=0.63234

所以，第七个序列为：a₃

 

t^*=(0.63215699-0.63207)/(0.63234-0.63207)=0.3221852

  F_x(1)≤t^*≤F_x(2)

l⁽⁸⁾ =0.63207+(0.63234-0.63207)*0.2=0.632124

u⁽⁸⁾ =0.63207+(0.63234-0.63207)*0.5=0.632205

所以，第八个序列为：a₂

 

t^*=(0.63215699-0.632124)/(0.632205-0.632124)=0.40728395

  F_x(1)≤t^*≤F_x(2)

l⁽⁹⁾ =0.632124+(0.632205-0.632124)*0.2=0.6321402

u⁽⁹⁾ =0.632124+(0.632205-0.632124)*0.5=0.6321645

所以，第九个序列为：a₂

 

t^*=(0.63215699-0.6321402)/(0.6321645-0.6321402)=0.6909

  F_x(2)≤t^*≤F_x(3)

所以，第十个序列为：a₃

因此该序列为a₃a₂a₂a₁a₂a₁a₃a₂a₂a₃

 

 

编码：

#include<stdio.h>
#define n 10
void main()
{
    double F[4]={0,0.2,0.5,1.0};
    double l0=0.0,u0=1.0;
    double tag=0.63215699,t;
    double f1,f2;
    printf("编码:\n");
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        t=(double)(tag-l0)/(u0-l0);
        if(t>=F[0]&&t<=F[1])
        {
            f1=F[0];
            f2=F[1];
            printf("a1");        
        }
        else if(t>=F[1]&&t<=F[2])
        {
            f1=F[1];
            f2=F[2];
            printf("a2");
        }
        else
        {
            f1=F[2];
            f2=F[3];
            printf("a3");    
        }
        f1=l0+(u0-l0)*f1;
        f2=l0+(u0-l0)*f2;
        l0=f1;
        u0=f2;
        
    }
    printf("\n");
}