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1

题目大意：有两个数组 $a,b$，你可以进行恰好一次，将 $a$ 的一段区间翻转。设所有不同的操作方法中，操作后 $a,b$ 中相等的位置的数量之和是多少。$n\le 5\times 10^5$

我们考虑对于每一种 $a_i$ 被反转到 $j$ 位置，然后得到 $a_i=b_j$ 的贡献单独来求。
设 $a_i=b_j=x$。
将所有等于 $x$ 的 $a_i$ 和 $b_j$，按照靠两端的距离的较小值 $p=min(i,n-i+1)$ 排序。
对于每个 $p_j$ 比当前这个 $a_i$ 的 $p_i$ 小的 $b_j$，会产生 $p_i$ 的贡献。
而对于每个 $b_j$，若有 $c$ 个 $p_i$ 比 $p_j$ 大的 $a_i$，会产生 $c\cdot p_j$ 的贡献。
这两部分可以通过从后往前扫，并记录一个 $p_i$ 的前缀和来实现。
具体实现细节见代码。

此方法中，$a_i=b_i$ 的情况需要单独考虑（就是不需要翻转就相等），贡献为 $\frac{n(n+1)}{2}-i\cdot (n-i+1)$

2

题目大意：给一个数组 $a$ 和整数 $m$，你每次可以进行操作：将某个 $a_i$ 加一或减一。取一个 $x$，使得可以用最少的操作次数，让每个 $a_i$ 都满足 $a_i-x$ 是 $m$ 的倍数，输出这个最少的操作次数。$n\le 2\times 10^5$

问题在模 $m$ 意义下进行，所以先给输入的数组对 $m$ 取模，然后排序。
问题就变成了，取一个 $0\le x<m$，使得 $abs(a_i-x)$ 的和最小。

可以发现，$x$ 只会取为某个 $a_i$，否则如果 $x$ 在两个 $a_i$ 中间，将他向其中之一移动，答案一定不会变劣。
那么，枚举取哪个 $a_i$，就会将数组划分为两段，一段通过加一加到 $a_i$，一段通过减一减到 $a_i$。
答案计算通过前缀和进行，为了实现方便，可以将数组整体复制一遍，后半部分全部加上 $m$，形成一个长度为 $2n$ 的数组。

3

题目大意：有一个 $n\times n$ 的矩阵，$a_{i,j}=i+j$，先对他进行若干次交换两行的操作，再进行若干次交换两列的操作，设此时的矩阵是 $p$。再对 $p$ 进行若干次操作：每次选定两个矩阵中有的数 $a,b$，将所有的 $a$ 变成 $b$，同时所有的 $b$ 变成 $a$。给出最后的矩阵，要求还原出 $p$，如果有若干 $p$ 满足要求，给出字典序最小的一个。$1\le n\le 1000$

我们发现 $p$ 的值域是 $[2,n+n]$，而出现次数为 $k$ 的数，要么是 $1+k$，要么是 $n+n+1-k$。
同时，$p$ 的每一行，每一列，都必须是一个连续的区间 $[m,m+n-1]$。
而只要是满足以上条件的矩阵，就是一个可以通过前两种操作得到的 $p$。

那么我们先求出给出的矩阵中，出现次数为 $1$ 的两个数，那么肯定对应 $p$ 中最大最小的两个数，$2$ 和 $n+n$。
因为要求字典序最小，我们肯定就让 $2$ 放在前面。
此时最大最小数都确定了，根据之前的性质，每一行每一列都是连续的区间，那么就会有两行两列的数全部被确定了。
然后去找次大数和次小数的位置，会发现有一个已经固定好的交点，根据他们的位置又能确定出若干行列。
这样不断从最大、最小的数往中间来确定，最终就确定出全部 $n+n-1$ 种数的位置。

具体实现较为繁琐，需要使用 vector 保存出现次数为 $cnt$ 的数被确定到了哪些位置上。
复杂度 $O(n)$。