报告

单摆法测重力加速度实验报告

1 摘要

本实验通过单摆法，进行一系列数据处理和运算，来测量本地的重力加速度 $g$。

• 了解单摆摆长周期的关系，确定实验方式。
• 测量摆长和周期，计算重力加速度和其不确定度。
• 测量多组摆长，通过 $l$ 和 $T^2$ 的关系进行拟合，进而确定重力加速度。
• 分析基本误差的来源，提出进行改进的方法。

2 背景介绍

单摆实验是一个经典实验，许多著名的物理学家都对单摆实验进行过细致的研究。伽利略指出摆的周期与摆长的平方根成正比，而与摆的质量和材料无关。

• 重力加速度݃ $g$ 是指一个物体受重力作用时具有的加速度。
• 重力加速度݃ 与物体所处的纬度、海拔高度及附近的矿藏分布等因素有关。
• 精确测量重力加速度，研究重力加速度的分布，在勘查地下资源、提高导弹和卫星精度等应用领域具有十分重要的意义。

3 实验方法

3.1 实验器材

钢卷尺、游标卡尺、千分尺、电子秒表、单摆。
单摆摆长可调上限约为 $100cm$。

3.2 实验原理

单摆的周期有公式：

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}(1+\frac{d^2}{20l^2}-\frac{m_0}{12m}(1+\frac{d}{2l}+\frac{m_0}{m}+\frac{\rho_0}{2\rho}+\frac{\theta^2}{16})}$$

该公式与摆线长度、质量，摆球直径、密度，空气密度，摆角等变量有关，较为复杂。
该实验要求不确定度优于 $1\%$，而摆球形状、质量等因素，在摆角较小（$\theta < 5^\circ$）的情况下对 $T$ 的影响一般小于 $10^{-3}$，因此可以忽略修正项，使用一级近似公式：

$$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

通过带入 $l$ 和 $T$，解得重力加速度 $g$。

3.3 实验步骤

1. 按照实验要求组装好实验仪器，将电子秒表归零。
2. 使摆线取合适长度，重复 $6$ 次测量单摆摆长。
3. 使在同一平面内摆动，保持摆角较小（$\theta < 5^\circ$）。
4. 重复 $6$ 次测量单摆周期，每次测量时使单摆摆动 $50$ 个周期，测量摆动时间。
5. 再选取 $6$ 个合适的摆长长度，重复 2 至 4 步。
6. 整理数据，计算重力加速度与不确定度。
7. 整理仪器。

4. 结果和分析

4.1

通过对摆长和周期的 6 次重复测量计算当地重力加速度及其标准不确定度

4.1.1 测量数据

序号	摆线长度 $l/cm$	摆球直径 $d/ mm$	50 次摆动时间 $t/s$
1	70.12	21.10	84.56
2	69.97	21.15	84.14
3	69.91	21.55	84.22
4	70.05	21.38	84.05
5	70.11	21.25	84.78
6	70.59	21.17	84.36

4.1.2 数据处理

摆线长度平均值：

$$\overline{l}=\frac{70.12+69.97+69.91+70.05+70.11+70.59}{6}cm=70.13cm$$

摆线长度标准差的平方：

$$\sigma_l^2=\frac{(70.12-70.13)^2+(69.97-70.13)^2+(69.91-70.13)^2+(70.05-70.13)^2+(70.11-70.13)^2+(70.19-70.13)^2}{6-1}cm^2=0.0169cm^2$$

可得，标准不确定度：

$$u_l=\sqrt{\frac{\sigma_l^2}{6}}cm=0.0531cm$$

摆球的平均直径：

$$\overline{d}=\frac{21.10+21.15+21.55+21.38+21.25+21.17}{6}mm=21.27mm$$

摆球直径的标准差的平方：

$$\sigma_d^2=\frac{(21.10-21.27)^2+(21.15-21.27)^2+(21.55-21.27)^2+(21.38-21.27)^2+(21.25-21.27)^2+(21.17-21.27)^2}{6-1}mm^2=0.0288mm^2$$

可得，标准不确定度：

$$u_d=\sqrt{\frac{\sigma_d^2}{6}}mm=0.0693mm$$

摆长平均值：

$$\overline{L}=\overline{l}+\frac{\overline{d}}{2}=71.19cm$$

合成标准不确定度：

$$u_L=\sqrt{u_l^2+(\frac{u_d}{2})^2}=0.0634cm$$

摆动时间平均值：

$$\overline{t}=\frac{84.56+84.14+84.22+84.05+84.78+84.36}{6}s=84.35s$$

摆动时间标准差的平方：

$$\sigma_t=\frac{(84.56-84.35)^2+(84.14-84.35)^2+(84.22-84.35)^2+(84.05-84.35)^2+(84.78-84.35)^2+(84.36-84.35)^2}{6-1}s^2=0.0760s^2$$

结合人开表、停表的误差 $\Delta_{\text{人}}=0.2s$，可得周期 $T$ 的标准不确定度：

$$u_T=\frac{1}{50}\sqrt{\frac{\sigma_t^2}{6}+\Delta_{\text{人}}^2}s=0.0043s$$

合成可得 $g$ 的标准不确定度：

$$\frac{u_g}{\overline{g}}=\sqrt{(\frac{u_L}{\overline{L}})^2+2^2\dot (\frac{u_T}{\overline{T}})^2}=0.0052$$

又有：

$$\overline{g}=4\pi^2\frac{\overline{L}}{\overline{T}^2}m/s^2=9.875m/s^2$$

那么：

$$u_g=0.0052\overline{g}=0.0553m/s^2$$

所以最终结果为，当地重力加速度为 $g=9.875m/s^2$，其不确定度为 $0.0553m/s^2$
也可知 $\Delta_g/g<1\%$，符合实验要求。

4.2

测量多个摆长与周期，用最小二乘法拟合。
摆长取摆线长度与摆球半径之和。

4.2.1 测量数据

序号	摆长 $L/cm$	50 次摆动时间 $t/s$
1	70.12	84.56
2	62.25	77.87
3	77.57	89.02
4	50.36	70.13
5	55.68	73.53
6	67.11	80.89

4.2.2 数据分析

摆长平均值：

$$\overline{L}=\frac{70.12+62.25+77.57+50.36+55.68+67.11}{6}cm=63.85cm$$

周期平方的平均值：

$$\overline{T}=\frac{84.56^2+77.87^2+89.02^2+70.13^2+73.53^2+80.89^2}{6\times 2500}s^2=2.53s^2$$

根据最小二乘法公式，可以计算出 $l-T^2$ 图像的斜率：

$$k=\frac{\sum LT^2-6\overline{L}\overline{T^2}}{\sum T^4-6\overline{T^2}^2}=0.2503 m/s^2$$

由此，可最终求出重力加速度：

$$g=4\pi^2k=9.881m/s^2$$

5 总结与讨论

• 实践了对游标卡尺、电子秒表等工具的使用。
• 实践了标准不确定度、不确定度合成的计算。
• 学会了应用误差均分原则选用适当的仪器和设计方法。