CF266D BerDonalds（图的绝对中心）

图的绝对中心在某节点或边上，使得所有节点到此点的距离最大值最小。

如果绝对中心在点上，那么直接对于每个 \(u\) 处理出 \(dis_{u,x}\) 最大的 \(x\) 即可。

考虑在边上的情况，若在边 \((u,v,w)\) 上距离 \(u\) 长度为 \(x\)，则节点 \(i\) 到此点距离为 \(\min(dis_{u,i}+x,dis_{v,i}+(w-x))\)。
把这个东西关于 \(x\) 的图像画出来就是一个单峰的折线。
把 \(n\) 个点的所有折线都画出来就是这样（来自 oi-wiki）：

实线是 \(n\) 个点的折线取完 \(\max\) 的图像，然后发现所有实线的极小值的横坐标是可能的 \(x\) 的取值。
由于斜率一定，可以按照 \(dis_{u,i}\) 从大到小考虑。
设 \(p\) 是目前考虑过的所有 \(i\) 中使得 \(dis_{v,i}\) 最大的那个，此时 \(p\) 的那条折线的递减部分一定是完全暴露在外的。
因此若此时有 \(dis_{v,i}>dis_{v,p}\)，则会在 \(p\) 的递减部分产生一个新的合法最小值拐点。
那么此时 \(dis_{u,i}+x\) 和 \(dis_{v,p}+(w-x)\) 一定同时是最长路径（还没考虑到的点的拐点在 \(i\) 的后面，而交点是在 \(i\) 的拐点前面，因此图像都在 \(i\) 下面），由此计算更新答案。

#define N 206
#define M 40006
int n,m;
int val[N];
int dis[N][N],rank[N][N];
int u[M],v[M],w[M];
int main(){
	n=read();m=read();
	std::memset(dis,0x3f,sizeof dis);
	for(reg int i=1;i<=n;i++) dis[i][i]=0;
	for(reg int u,v,i=1;i<=m;i++){
		u=::u[i]=read();v=::v[i]=read();
		dis[u][v]=dis[v][u]=std::min(dis[u][v],w[i]=read());
	}
	for(reg int k=1;k<=n;k++){
		for(reg int i=1;i<=n;i++)for(reg int j=1;j<=n;j++) dis[i][j]=std::min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
	}
	for(reg int i=1;i<=n;i++){
		for(reg int j=1;j<=n;j++) val[j]=dis[i][j],rank[i][j]=j;
		std::sort(rank[i]+1,rank[i]+1+n,[](const int &a,const int &b){return val[a]<val[b];});
	}
	int ans=1e9;
	for(reg int i=1;i<=n;i++) ans=std::min(ans,dis[i][rank[i][n]]<<1);
	for(reg int i=1;i<=m;i++){
		int u=::u[i],v=::v[i],w=::w[i];
		for(reg int j=n-1,p=n;j;j--)if(dis[v][rank[u][j]]>dis[v][rank[u][p]]){
			ans=std::min(ans,dis[u][rank[u][j]]+dis[v][rank[u][p]]+w);
			p=j;
		}
	}
	printf("%lf\n",ans/2.0);
	return 0;
}