【转载】SG定理

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SG定理

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初始问题

给定N$N$堆石子，每堆有Ai$A_i$个石子。两个人轮流操作，每轮可以选一堆石子来取石子，可以取完，但不能不取。无法操作者输。问先手是否必胜。

SG定理

相信很多人都已经知道了这个定理。

假设现在有一个有向无环的游戏图G(V,E)$G(V,E)$,若(i,j)∈E$(i,j)\in E$则表示状态i$i$可以转移到状态j$j$.

我们还要定义必胜态与必败态的概念。
必胜态表示，从当前状态可以转移到一个必败态。
必败态表示，从当前状态无法转移到一个必败态。

我们规定整个图不存在平局态。

设SGX$S{G}_X$

SGX=MEX({SGY,Y|(X,Y)∈E})$S{G}_X=MEX(\{S{G}_Y,Y|(X,Y)\in E\})$

MEX$MEX$是一个作用于集合的函数。MEX(S)$MEX(S)$的值为最小的自然数b$b$,满足b∉S$b\notin S$.

最终若SGX$S{G}_X$为0，则X$X$为一个必败态。否则X$X$为必胜态。

证明

我们归纳的来证明这个定理。

假设对于之前的状态这是成立的。
现在新增了一个状态X$X$.
若SGX>0$S{G}_X>0$,则必然存在一个Y:(X,Y)∈E$Y:(X,Y)\in E$ 满足SGY=0$S{G}_Y=0$.因为SGY=0$S{G}_Y=0$,所以Y$Y$为一个必败态。因此X$X$为一个必胜态。

若SGX=0$S{G}_X=0$,则∀y:(X,Y)∈E,SGY>0${\mathrm{\forall }}_{y:(X,Y)\in E},S{G}_Y>0$.也就是说他只能转移到必胜态。因此X$X$为一个必败态。

最终由于没有出边的状态Q$Q$为必败态，SGQ=0$S{G}_Q=0$.所以归纳成立。

回归原问题

好像有了上面的定理我们就能做了？？？其实是不能的。

因为原问题中我们的一个状态X=(A1,A2,⋯,AN)$X=(A_1,A_2,\cdots ,A_N)$.状态数实在是太多了。根本不可能存的下来。

但是假如只有一堆石子的话，
SG(A1)=MEX({SG(j),j<A1})$S{G}_{(A_1)}=MEX(\{SG(j),j<A_1\})$

最终化简得SG(A1)=A1$S{G}_{(A_1)}=A_1$.

然而并没有什么卵用

原问题是多个堆。但是两两之间没有什么影响啊？？能不能缩？

Another theorem

设一个游戏间的运算+$+$,X+Y$X+Y$表示将X$X$与Y$Y$复合。即这两个游戏相互不影响，但在同一个游戏X+Y$X+Y$中。

设游戏X=X1+X2+⋯+XN$X=X_1+X_2+\cdots +X_N$
记⊕$\oplus$表示xor$xor$.
则SGX=SGX1⊕SGX2⊕⋯SGXN$S{G}_X=S{G}_{X_1}\oplus S{G}_{X_2}\oplus \cdots S{G}_{X_N}$.

Why?

Proof

首先考虑游戏X$X$具有的转移。
设X=X1+X2+⋯+XN$X=X_1+X_2+\cdots +X_N$.
因为一次只能选择一个单独的游戏进行,所以X$X$具有的转移其实是
X1+X2+⋯+X′i+⋯+XN,1≤i≤N$X_1+X_2+\cdots +X_i^{\prime }+\cdots +X_N,1\le i\le N$.
其中X′i$X_i^{\prime }$为Xi$X_i$的一个转移。

设FX$F_X$为X$X$的转移集合。

设b=SGX1⊕SGX2⊕⋯SGXN$b=S{G}_{X_1}\oplus S{G}_{X_2}\oplus \cdots S{G}_{X_N}$.

那么为了证明SGX=b$S{G}_X=b$,我们事实上只需要证明两条性质。

1. ∀a∈N,a<b,∃x′∈FxSGX′=a${\mathrm{\forall }}_{a\in N,a<b},{\mathrm{\exists }}_{x^{\prime }\in F_x}S{G}_{X^{\prime }}=a$.

2. ∀x′∈FxSGX′≠b${\mathrm{\forall }}_{x^{\prime }\in F_x}S{G}_{X^{\prime }}\ne b$

证明第一条性质

我们同样需要采用归纳法来证明。

∀a∈N,a<b,∃x′∈FxSGX′=a${\mathrm{\forall }}_{a\in N,a<b},{\mathrm{\exists }}_{x^{\prime }\in F_x}S{G}_{X^{\prime }}=a$.

记d=b ⊕ a$d=b\oplus a$,d$d$的最高位为k$k$.则必存在SGXi$S{G}_{X_i}$的第k$k$位为1.

因为SGXi ⊕ d<SGXi$S{G}_{X_i}\oplus d<S{G}_{X_i}$,所以必然存在X′∈FXi,SGX′=SGXi ⊕ d$X^{\prime }\in F_{X_i},S{G}_{X^{\prime }}=S{G}_{X_i}\oplus d$.

因为d=b ⊕ a⇒a=b ⊕ d$d=b\oplus a\Rightarrow a=b\oplus d$.即

a=SGX1⊕SGX2⊕⋯SGXi⊕d⊕⋯SGXN$$a=S{G}_{X_1}\oplus S{G}_{X_2}\oplus \cdots S{G}_{X_i}\oplus d\oplus \cdots S{G}_{X_N}$$

又因为存在X′∈FXi,SGX′=SGXi⊕d$X^{\prime }\in F_{X_i},S{G}_{X^{\prime }}=S{G}_{X_i}\oplus d$,

a=SGX1⊕SGX2⊕⋯SGX′⊕⋯SGXN$$a=S{G}_{X_1}\oplus S{G}_{X_2}\oplus \cdots S{G}_{X^{\prime }}\oplus \cdots S{G}_{X_N}$$

因为X′∈FXi$X^{\prime }\in F_{X_i}$,所以X1+X2+⋯+X′+⋯+XN∈FX$X_1+X_2+\cdots +X^{\prime }+\cdots +X_N\in F_X$.

所以
∀a∈N,a<b,∃x′∈FxSGX′=a${\mathrm{\forall }}_{a\in N,a<b},{\mathrm{\exists }}_{x^{\prime }\in F_x}S{G}_{X^{\prime }}=a$.

证明第二条性质

我们现在用反证法。

假设∃x′∈FxSGX′=b${\mathrm{\exists }}_{x^{\prime }\in F_x}S{G}_{X^{\prime }}=b$

那么

SGX′=SGX1⊕SGX2⊕⋯SGXN$$S{G}_{X^{\prime }}=S{G}_{X_1}\oplus S{G}_{X_2}\oplus \cdots S{G}_{X_N}$$

设X′=X1+X2+⋯+X′i+⋯+XN$X^{\prime }=X_1+X_2+\cdots +X_i^{\prime }+\cdots +X_N$
X=X1+X2+⋯+Xi+⋯+XN$X=X_1+X_2+\cdots +X_i+\cdots +X_N$
那么

SGX′=SGX1⊕SGX2⊕⋯⊕SGX′i⊕⋯⊕SGXN$$S{G}_{X^{\prime }}=S{G}_{X_1}\oplus S{G}_{X_2}\oplus \cdots \oplus S{G}_{X_i^{\prime }}\oplus \cdots \oplus S{G}_{X_N}$$

那么就有SGXi=SGX′i$S{G}_{X_i}=S{G}_{X_i^{\prime }}$

因为

SGXi=MEX(SGX′i)$$S{G}_{X_i}=MEX(S{G}_{X_i^{\prime }})$$

SGXi≠SGX′i$$S{G}_{X_i}\ne S{G}_{X_i^{\prime }}$$

矛盾

所以不存在SGX′=b$S{G}_{X^{\prime }}=b$

得证。