manacher 笔记

P3805【模板】manacher算法：https://www.luogu.com.cn/problem/P3805

求 \(S\) 中的最大回文串长度，\(|S|\le 1.1\cdot 10^7\)

考虑一个 \(n^2\) 暴力，枚举对称轴（可能是以一个字符为对称轴，也可能是以两个字符的间隙），向外一位一位扩展，并更新答案
实测64分

但这个暴力也对 manacher 正解有了启示，先不考虑以字符间隙为对称轴的，考虑能不能 \(O(n)\) 求出来以某个字符为对称轴的回文子串最大长度

定义回文半径 \(len_i\)，为以第 \(i\) 个字符为对称轴，能向外扩展的最大长度（包括它本身），也就是对应的回文串长度为 \(2len_i-1\)
如果现在以知一个点 \(pos,max=len_{pos}\)，那么根据回文串的性质，区间 \([pos-max+1,pos-max-1]\) 是左右对称的
也就是如果某个点 \(x\in [pos-max+1,pos-max-1]\)，它的回文半径为 \(len_x\)，那么和 \(x\) 关于 \(pos\) 对称的点，也就是 \(2pos-x\)，它的回文半径也至少是 \(len_x\)
当然前提是，这个以 \(x\) 为对称轴的回文串，没有超出区间 \([pos-max+1,pos-max-1]\)

就像上面这个图，红色区域由于关于 \(pos\) 对称，所以也一定会有右边这个以 \(2pos-x\) 为对称轴的回文串
而蓝色区域超出了这个区间，超出的部分（两边的绿色），必然不关于 \(pos\) 对称，不然这个区间就会继续往外延伸了，所以也就出现了错误
所以，实际上，这个回文半径至少为 \(\min(len_x,pos+max-(2pos-x))\)，后面那项，实际上是 \((pos+max-1)-(2pos-x)+1\)，也就是 \(2pox-x\) 到 \(pos+max-1\) 的长度（就是说超过了这个区间的部分不能计算在其中）

但这里说的是至少为，什么情况下会比这个多？
当 \(len_x\ge pos+max-(2pos-x)\)，也就是，这个回文半径已经从 \(2pos-x\) 一直延伸到了 \(pos+max-1\)，剩下的因为出了区间而被截掉了（或者没有剩下的）
此时，它的回文半径，是可以继续向这个区间外扩展的（就是右边在扩展前已经顶到了区间右端点，然后一位一位右端加一，左端减一，这样更新 \(len\)）
那么此时就暴力一位位比对来扩展，直到无法继续
这样就能利用之前的某个 \(len_x\) 来推知现在这个点的 \(len\)

那如何保证复杂度 \(O(n)\)？
这里维护的 \(pos,max\)，是使得 \(pos+max-1\) 最大的一组，每次也是用它来更新每个位置的 \(len\)
这样，每次暴力比较，如果成功，都会把 \(pos+max-1\) 向外扩展一位（此时的 \(pos\) 就变成了当前正在被更新回文半径的这一位，可以结合上面的图理解）
然后 \(pos+max-1\) 最多扩展到 \(n\)，也就是扩展 \(n\) 次，所以复杂度控制在了 \(O(n)\)

但这样只是计算了以某一个字符为对称轴的情况
其实另一种情况想转化过来也不难，就是在每两个字符的中间都插入一个无意义的字符
这样，在原来是以两字符间隙为对称轴的情况，现在就是以这个插入的字符为对称轴
比如 aabaac，就变成了 #a#a#b#a#a#c#，这个 # 就是那个无意义字符
而对于一个 \(len_i\)，它对应的回文串长度为 \(2len_i-1\)，而这个回文串肯定是以 # 开头结尾（因为是最长的），所以实际长度是 \(\lfloor\dfrac{2len_i-1}{2}\rfloor=len_i-1\)
这也是为什么要在开头结尾也插入一个 #，这样让所以可能的回文串长度上都符合了这个式子

实际代码中，要在开头结尾的 # 前后，再插入两个不同的字符，为的是防止比对时越界
而且刚才的讲解是直到 \(x\)，确定要更新的 \(2pos-x\)，但实际代码中是要更新 \(i\)，讲解里的 \(x\) 在代码里是 \(2pos-i\)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<map>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline int read(){
	register int x=0;register int y=1;
	register char c=std::getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
	return y?x:-x;
}
char in[11000005],s[22000005];
int len[22000005];
int main(){
	scanf("%s",in+1);
	int n=std::strlen(in+1);
	for(reg int i=1;i<=n;i++) s[i+i]=in[i],s[i+i+1]=2;
	n+=n+1;
	int pos=0,max=0;
	s[0]=0;s[1]=2;s[n+1]=1;
	int ans=0;
	for(reg int i=1;i<=n;i++){
		if(pos+max-1<i) len[i]=1;
		else len[i]=std::min(len[pos+pos-i],pos+max-i);
		while(s[i+len[i]]==s[i-len[i]]) len[i]++;
		if(i+len[i]-1>=pos+max-1) pos=i,max=len[i];
		ans=std::max(ans,len[i]-1);
	}
	printf("%d",ans);
//		EN;for(reg int i=1;i<=n;i++) printf("%c %d\n",s[i],len[i]);
	return 0;
}