[bzoj2427]P2515 [HAOI2010]软件安装（树上背包）
tarjan+树上背包
题目描述
现在我们的手头有 \(N\) 个软件，对于一个软件 \(i\)，它要占用 \(W_i\) 的磁盘空间，它的价值为 \(V_i\)。我们希望从中选择一些软件安装到一台磁盘容量为 \(M\) 计算机上，使得这些软件的价值尽可能大（即 \(V_i\) 的和最大）。
但是现在有个问题：软件之间存在依赖关系，即软件 \(i\)只有在安装了软件 \(j\)（包括软件 \(j\) 的直接或间接依赖）的情况下才能正确工作（软件 \(i\) 依赖软件 \(j\) )。
幸运的是，一个软件最多依赖另外一个软件。如果一个软件不能正常工作，那么它能够发挥的作用为 \(0\)。
我们现在知道了软件之间的依赖关系：软件 \(i\) 依赖软件 \(D_i\)。
现在请你设计出一种方案，安装价值尽量大的软件。一个软件只能被安装一次，如果一个软件没有依赖则 \(D_i=0\)，这时只要这个软件安装了，它就能正常工作。
把依赖关系想象成有向边，由被依赖的软件指向依赖它的软件
那么一个点能被选到的条件就是，它的祖先被选
然后每个点都只有一个入度，还是有向边，所以如果没有环的话，这就是一个树！直接树上背包就能行了
那么考虑用 tarjan 缩点，每个强连通分量中，每两个点都可以互相到达，而这个“互相到达”，放在这个题里就是互相直接或间接的依赖
所以强连通分量里的点，如果选就都选，不选就都不选，这点很好理解
那么缩点后的图就是树了吗？
是的，对于一个强连通分量来讲，很显然，想要满足每两个点互相到达的要求，每个点都必须有它所在的这个强连通分量中，其它的点连过来的边（废话），那么，此时它的入度已经为一了，就不会再有这个强连通分量以外的点向这个点连边了
所以，只有可能是这个强连通分量向外连边，而且是连到那种只有一个点的强连通分量中
此时要把图缩完点的情况，每个强连通分量作为节点，重新连边
那么同时构建一个虚拟节点，由它向没有入度的强联通分量连边，这个虚拟点的 \(v,w\) 均为 \(0\)
直接以这个虚拟节点为根做树上背包dp 就行了
简单说一下树上背包咋做
\(f_{u,i}\) 表示在 \(u\) 这个点，用 \(i\) 的硬盘限制，能获得的最大价值
初始是 \(f_{u,i}=v_u,i\in [w_u,m]\)
再分别枚举 \(j\in [0,m-w_u]\) 表示对 所有 子树的限制，\(k\in[0,j]\) 表示对 当前 子树的限制
这个转移方程也就很好理解了
另外这个 \(0-w_u<0\) 是有可能的，然后我用 ~j 来判断它是不是等于 \(-1\) 来结束循环节爆炸了
我再也不用位运算了
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<map>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline int read(){
register int x=0;register int y=1;
register char c=std::getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
return y?x:-x;
}
#define N 106
#define M 506
int fir[N],nex[N],to[N],tot;
int fir_[N],nex_[N],to_[N],tot_;
int dfn[N],low[N],dfscnt;
int scc[N],scccnt,indeg[N],sum_w[N],sum_v[N];
int stack[N],top;
int val[N],w[N];
int n,m;
int f[N][M];
inline void add(int u,int v){
to[++tot]=v;
nex[tot]=fir[u];fir[u]=tot;
}
inline void add_(int u,int v){
to_[++tot_]=v;
nex_[tot_]=fir_[u];fir_[u]=tot_;
}
void tarjan(int u){
stack[top++]=u;low[u]=dfn[u]=++dfscnt;
for(reg int v,i=fir[u];i;i=nex[i]){
v=to[i];
if(!dfn[v]){
tarjan(v);
low[u]=std::min(low[u],low[v]);
}
else if(!scc[v]) low[u]=std::min(low[u],dfn[v]);
}
if(dfn[u]==low[u]){
scccnt++;
do{
scc[stack[--top]]=scccnt;
sum_w[scccnt]+=w[stack[top]];sum_v[scccnt]+=val[stack[top]];
}while(stack[top]!=u);
}
}
inline void rebuild(){
for(reg int i=1;i<=n;i++){
for(reg int j=fir[i];j;j=nex[j])if(scc[i]!=scc[to[j]])
add_(scc[i],scc[to[j]]),indeg[scc[to[j]]]=1;
}
for(reg int i=1;i<=scccnt;i++)if(!indeg[i]) add_(scccnt+1,i);
}
void dfs(int u){
for(reg int i=sum_w[u];i<=m;i++) f[u][i]=sum_v[u];
reg int v,mm;
for(reg int i=fir_[u];i;i=nex_[i]){
v=to_[i];mm=m-sum_w[u];
dfs(v);
for(reg int j=mm;j>=0;j--){//j对 所有 子树的限制
for(reg int k=0;k<=j;k++)//k是对 当前 子树的限制
f[u][j+sum_w[u]]=std::max(f[u][j+sum_w[u]],f[v][k]+f[u][j+sum_w[u]-k]);
}
}
}
int main(){
n=read();m=read();
for(reg int i=1;i<=n;i++) w[i]=read();
for(reg int i=1;i<=n;i++) val[i]=read();
for(reg int i=1,x;i<=n;i++){
x=read();
if(x) add(x,i);
}
for(reg int i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i]) tarjan(i);
rebuild();
// EN;
// for(reg int i=1;i<=scccnt;i++) std::printf("%d : %d ",i,fir_[i]);EN;
// std::puts("new : ");
// for(reg int i=1;i<=scccnt;i++){
// std::printf("%d : ",i);
// for(reg int j=fir_[i];j;j=nex_[j]) std::printf("%d ",to_[j]);
// EN;
// }
// for(reg int i=1;i<=scccnt;i++) std::printf("%d %d\n",sum_v[i],sum_w[i]);
dfs(scccnt+1);
std::printf("%d",f[scccnt+1][m]);
return 0;
}
