P3306 [SDOI2013]随机数生成器(bzoj3122)

洛谷
bzoj
特判+多测真恶心

、

\(0\le a\le P−1,0\le b\le P−1,2\le P\le 10^9\)

Sample Input

3 
7 1 1 3 3
7 2 2 2 0
7 2 2 2 1

Sample Output

1 
3 
-1 

---

推一下前几项就能知道：

\[x_n\equiv t\equiv a^{n-1}x_1+b\sum_{i=0}^{n-2}a^i\pmod p \]

\[t\equiv a^{n-1}x_1+b\frac{a^{n-1}-1}{a-1}\pmod p \]

然后肯定要求逆元，我们设\((a-1)^{-1}=inv\)
那么原式：

\[t\equiv a^{n-1}x_1+ba^{n-1}\cdot inv-b\cdot inv\pmod p \]

\[t+b\cdot inv\equiv a^{n-1}(x_1+b\cdot inv)\pmod p \]

\[a^{n-1}\equiv \frac{t+b\cdot inv}{x_1+b\cdot inv}\pmod p \]

所以此时只要求出那个分母的逆元，然后用 BSGS 就行了
但是注意 BSGS 得到的答案要加一，但此时不能再取模了，不然成\(0\)显然不合理

---

然后开始烦人的特判

• \(x_1=t\rightarrow n=1\)
• \(a=0\)，则只需判断是不是\(b=t\)，如果是那么第二天就能读到，不然永远读不到
• \(a=1\rightarrow t\equiv x_n\equiv x_1+b(n-1)\)，此时还要分两种：
  • \(b=0\)，无解，因为前面已经判定过是不是\(x_1=t\)了，所以现在肯定是不相等
  • \(n=\dfrac{t-x_1}{b}+1\)，此时为了防止模成\(0\)，再乘逆元的时候取一次模，后面的加一仍然不取模

这些虽然不难但不看题解我还是没有想全

还有一个问题，就是 BSGS 的时候，求解\(a^x\equiv n\pmod p\)，不能判断\(p\mid a\)就立刻返回无解，因为如果此时\(n=0\)，那么是要返回\(0\)的

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<map>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline int read(){
	register int x=0;register int y=1;
	register char c=std::getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
	return y?x:-x;
}
std::map<LL,LL>map;
inline int power(int a,int b,int p){
	int ret=1;
	while(b){
		if(b&1) ret=1ll*ret*a%p;
		b>>=1;a=1ll*a*a%p;
	}
	return ret;
}
inline LL BSGS(LL a,LL n,LL p){
	if(!(a%p)){
		if(n) return -1;
		else return 0;
	}
	map.clear();
	reg LL m=std::ceil(std::sqrt(p));
	for(reg LL i=0,s=n;i<m;i++,s=s*a%p) map[s]=i;
	for(reg LL i=1,s=power(a,m,p),tmp=s;i<=m;i++,s=s*tmp%p)
		if(map.find(s)!=map.end()) return i*m-map[s];
	return -1;
}
int main(){int T=read();while(T--){
	LL p=read(),a=read(),b=read(),x1=read(),t=read();
	if(x1==t) std::puts("1");
	else if(!a)	std::puts(b==t?"2":"-1");
	else if(a==1){
		if(!b) std::puts("-1");
		else{
			t=(t-x1+p)%p;
			std::printf("%lld\n",(t*power(b,p-2,p)%p)+1);
		}
	}
	else{
		LL inv=power(a-1,p-2,p);
		t=(t+(b*inv%p))%p;
		LL ans=BSGS(a,t*power((x1+(b*inv%p))%p,p-2,p)%p,p);
		if(~ans) std::printf("%lld\n",ans+1);
		else std::puts("-1");
	}
}
	return 0;
}