P1891 疯狂LCM

题意

求\(\sum_{i=1}^n\operatorname{lcm}(i,n)\)
多测，\(T\leq 3\cdot 10^5,1\leq n\leq 10^6\)

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题解

看这数据范围也能知道是个预处理+\(O(1)\)查询之类的东西
很容易想到的变形：

\[\sum_{i=1}^n\operatorname{lcm}(i,n)=\sum_{i=1}^n\frac{i\cdot n}{\gcd(i,n)}=n\sum_{i=1}^n\frac{i}{\gcd(i,n)} \]

然后就不会了

其实是要加一层\(\sum\)，这个不看题解是真想不到，不过这可能是个挺套路的东西？

\[n\sum_{d | n}\sum_{i=1}^n\frac{i}{d}\cdot[\gcd(i,n)=d] \]

虽然看起来比较废话但很关键

然后再变形，中括号里除以\(d\)变成\(\gcd(\dfrac{i}{d},\dfrac{n}{d})=1\)，其实就是如果\(\dfrac{i}{d}\)和\(\dfrac{n}{d}\)互质，那么他们都乘\(d\)以后的\(\gcd\)就是\(d\)

\[n\sum_{d | n}\sum_{i=1}^n\frac{i}{d}\cdot[\gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1] \]

然后让\(i\)替代\(\dfrac{i}{d}\)

\[n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i\cdot[\gcd(i,\frac{n}{d})=1] \]

又因为这个\(\dfrac{n}{d},d\)是\(n\)的“一对”因数，所以这个式子可以直接写成一个更好看的形式：

\[n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{d}i\cdot[\gcd(i,d)=1] \]

然后这就有点欧拉\(\varphi\)函数的意思了
关键是那个\(i\)很碍眼，所以当然是要再看一波题解

由于\(\gcd(i,d)=\gcd(d-i,d)\)
这个和欧几里得法求\(\gcd\)很像，具体证明可以去这里看
所以考虑\(\sum_{i=1}^{d}i\cdot[\gcd(i,d)=1]\)里的每一个\(i\)和\(d-i\)，如果\(\gcd(i,d)\neq 1\)肯定就不用管，如果等于\(1\)，那么这两项的值就是\(d\)
那么有多少对\(\gcd(i,d)=\gcd(d-i,d)=1\)？肯定是\(\dfrac{\varphi(d)}{2}\)，注意这里说的是多少对
但是很容易发现，\(d=1\)是上面式子成\(0\)了，不成立，所以应该给\(\sum\)中的分子加上\(1\)然后下取整，就避免了这个情况
然后更准确的答案就表述为：

\[n\sum_{d|n}\lfloor\frac{\varphi(d)\cdot d+1}{2}\rfloor \]

其实这时已经可以\(O(\sqrt n)\)回答了，但还可以做的更好

\(O(n\log \log n)\)跑一个类似于埃氏筛的过程，我们设\(f_j=\sum_{d|j}\lfloor\dfrac{\varphi(d)\cdot d+1}{2}\rfloor\)，应该都知道埃氏筛里面\(j\)一般代表啥吧
然后对于每一个枚举到的\(i\)，实际上就是上式中的每一个\(d\)，然后按公式给\(f_j\)加上就好

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小总结

当然我做的题太少可能说的不全
其实这种\(\gcd,\operatorname{lcm}\)有关的问题，很多都是转变成\([\gcd=\cdots]\times \cdots\)的形式，\(\cdots\)都是数，然后和\(\varphi\)结合起来
有时这个转换的方式就是通过加上一个\(\sum_{d|n}\)，其它的还没遇见，遇见了可能会写在这里
反正\(\gcd\)这种最容易联想到的就是\(\varphi\)了

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline int read(){
	register int x=0;register int y=1;
	register char c=std::getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
	return y?x:-x;
}
int n=1e6;
LL phi[1000006],f[1000006];
int prime[500006],notprime[1000006];
inline void get_phi(){
	phi[1]=1;
	for(reg int i=2;i<=n;i++){
		if(!notprime[i]) prime[++prime[0]]=i,phi[i]=i-1;
		for(reg int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;j++){
			notprime[i*prime[j]]=1;
			if(!(i%prime[j])){
				phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];
				break;
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}
int main(){
	get_phi();
	for(reg int i=1;i<=n;i++)
		for(reg int j=i;j<=n;j+=i)
			f[j]+=(phi[i]*i+1)>>1;//要加1，如果i=1的话式子就是1了符合要求，如果不是和没加一样不用管 
	int T=read();while(T--){
		n=read();
		std::printf("%lld\n",f[n]*n);
	}
	return 0;
}