P2568 GCD
题意
给定正整数\(n\)，求\(1\leq x,y\leq n\)且\(\gcd(x,y)\)为质数的数对\((x,y)\)个数
\(1\leq n\leq 10^7\)
欧拉\(\varphi\)函数的基础题，关于欧拉\(\varphi\)函数
所以基础知识就不在这篇里讲了
把题目描述成公式，并且枚举每一个质数\(p\)：
\[\sum_{p\in {prime}}\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n [\gcd(x,y)=p]
\]
然后做一步变形，这好像是\(\gcd\)的常规操作
\[\sum_{p\in{prime}}\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor} [\gcd(x,y)=1]
\]
上面这一步的意思大概就是，对于每一个\(\gcd(x,y)=p\)的\((x,y)\)，都能找到一个\(x',y',\gcd(x',y')=1\)，使得\(\gcd(x'p,y'p)=p\)
那么，这些\((x',y')\)与\((x,y)\)一一对应，所以数量一样多，于是求\((x,y)\)的个数就变成了求\((x',y')\)的个数
然后又因为\(x',y'\leq \lfloor\dfrac{n}{p}\rfloor\)，所以只枚举到\(\lfloor\dfrac{n}{p}\rfloor\)就行了
再继续变形，发现\((x,y)\)是无序的，下面的\((x,y)\)就默认说的是\((x',y')\)，所以可以通过改变\(y\)的上限变成有序然后再乘\(2\)来算
\[\sum_{p\in{prime}}(\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}(2\times \sum_{y=1}^x [\gcd(x,y)=1])-1)
\]
要减\(1\)是因为\((x,x)\)是不符合要求的，多算了一个，看清楚上面式子里的括号
然后可以发现，最里面那个\(\sum\)就是\(\varphi\)，所以可以变形成：
\[\sum_{p\in{prime}}((\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}2\varphi(x))-1)
\]
\[\sum_{p\in{prime}}(2\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}\varphi(x)-1)
\]
所以我们只需要线性筛求出\(\varphi\)再做个前缀和按公式算就行
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline int read(){
register int x=0;register int y=1;
register char c=std::getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
return y?x:-x;
}
int n;
LL phi[10000006];
int prime[1000006],notprime[10000006];
inline void get_phi(){
phi[1]=1;
for(reg int i=2;i<=n;i++){
if(!notprime[i]) prime[++prime[0]]=i,phi[i]=i-1;
for(reg int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;j++){
notprime[i*prime[j]]=1;
if(!(i%prime[j])){
//i mod p=0, phi(i*p)=p*phi(i)
phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];
break;
}
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//i mod p!=0,phi(i*p)=phi(i)*(p-1)
}
}
}
int main(){
n=read();get_phi();
for(reg int i=2;i<=n;i++) phi[i]+=phi[i-1];
LL ans=0;
for(reg int i=1;i<=prime[0];i++) ans+=2*phi[n/prime[i]]-1;
std::printf("%lld",ans);
return 0;
}
