P2024 食物链（种类并查集）
题目描述
动物王国中有三类动物 A,B,C，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。A 吃 B，B吃 C，C 吃 A。
现有 N 个动物，以 1 － N 编号。每个动物都是 A,B,C 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。
有人用两种说法对这 N 个动物所构成的食物链关系进行描述：
- 第一种说法是“1 X Y”，表示 X 和 Y 是同类。
- 第二种说法是“2 X Y”，表示 X 吃 Y 。
此人对 N 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 K 句话，这 K 句话有的是真的，有的是假的。当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。
- 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话
- 当前的话中 X 或 Y 比 N 大，就是假话
- 当前的话表示 X 吃 X，就是假话
你的任务是根据给定的 N 和 K 句话，输出假话的总数。
输入格式
第一行两个整数，N，K，表示有 N 个动物，K 句话。
第二行开始每行一句话
输出格式
一行，一个整数，表示假话的总数。
经典的种类并查集使用
好像也叫带权并查集
由此觉得并查集并不是一个简单的东西
我们可以对并查集中的每一个元素，记录一个\(relation(x)\)，表示\(x\)和\(fa(x)\)的关系
\(relation(x)\)有三种值：
- 0，表示\(x\)和\(fa(x)\)是同类
- 1，表示\(x\)被\(fa(x)\)吃掉
- 2，表示\(x\)吃掉\(fa(x)\)
当然，一开始的时候每个节点的父亲都是自己，\(relation\)也就是0，自己和自己是同类
那么，我们在进行路径压缩的时候，更新了\(fa(x)\)的同时，就也要更新\(relation(x)\)
考虑我们知道\(relation(x),relation(fa(x))\)，如何退出\(x\)和它的爷爷的关系？
即为：\((relation(x)+relation(fa(x)))\bmod 3\)
试一下就知道，这对于每种情况都是成立的，因为懒就不写出来了
其实这样说明了，刚才的的三个值并不是乱取的，要根据如何写上面那个公式简单来确定这三个值的意义
那么考虑另一件事，\(relation(x)\)是\(x\)相对于它的父亲的信息，那么如何通过\(relation(x)\)得到它父亲相对于它的信息？
试试三种情况就知道，是\((3-relation(x)) \bmod 3\)
稍微举个例子，比如\(x\)能吃掉\(fa(x)\)，也就是\(relation(x)=2\)
那么\(3-relation(x)=1\)，也就是说明，\(fa(x)\)被\(x\)吃掉
有了这个，就可以去考虑如何将两个集合合并了
设\(x,y\)的根分别是\(findx,findy\)，那么我们首先让\(fa(findy)=findx\)
那么\(fa(findy)\)被更新了，那么\(relation(findy)\)就也要更新
放上代码，对着代码说应该比较方便
inline void link(int x,int y,int findx,int findy,int o){
fa[findy]=findx;
relation[findy]=(3-relation[y]+o-1+relation[x])%3;
}
那个o就是一句话的类型，\(o=1\)表示同类，\(o=2\)表示\(x\)吃\(y\)
然后连完以后是这个样字，省略了其它无关节点
要想知道\(findx\)和\(findy\)的关系，肯定是要从\(x,y\)入手，因为其它没有边相连的节点之间的关系是不确定的
\(o-1\)，即为\(y\)相对于相对于\(x\)的关系，换句话说，就是如果\(y\)的父亲是\(x\)，那么\(relation(y)=o-1\)
那么我们可以在原来的树里想象出一些边，即为下图中的蓝色边，这些边是由父亲指向儿子
结合之前说的求\(x\)相对于它爷爷的关系的方法，我们可以给这个方法再加深一层
也就是求\(findy\)相对于它爸爸的爸爸的爸爸的关系（（（
其实就是顺着那些蓝色箭头往回走，那么走了这么三层，就到\(findx\)了
那么这三段蓝箭头产生的\(relation\)值加起来模3就行了
这也体现出以一个巧妙的方式确定\(relation\)的值多么重要，如果是瞎确定的，没有一个简洁的公式，那么上一步两层的还好，这一步变成三层就极其麻烦了
那么就是\((3-relation(y))+(o-1)+relation(x)\bmod 3\)，顺序是逆着箭头方向来的
所以这题基本就清晰了，部分细节看代码就好了
但是有一个实现上的地方要说一说，就是find函数
int find(int x){
if(fa[x]==x) return x;
int tmp=fa[x];
fa[x]=find(fa[x]);
relation[x]=(relation[x]+relation[tmp])%3;
return fa[x];
}
为什么要先将fa[x]=find(fa[x])后再更新relation[x]？
因为在处理fa[x]之前，如果就用relation[fa[x]]去更新relation[x]，那么此时fa[x]与根的关系可能是没更新的错误信息，不能被用来更新relation[x]
为什么要定义一个tmp=fa[x]？
因为在fa[x]=find(fa[x])后，fa[x]的值有了变更
所以，并查集这玩意本身好像并不难，但一些更高级的应用还是有点东西的
当然也是我太蒻的原因
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline int read(){
int x=0,y=1;
char c=std::getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
return y?x:-x;
}
int n,m;
int fa[50006],relation[50006];
inline void link(int x,int y,int findx,int findy,int o){
fa[findy]=findx;
relation[findy]=(3-relation[y]+o-1+relation[x])%3;
}
int find(int x){
if(fa[x]==x) return x;
int tmp=fa[x];
fa[x]=find(fa[x]);
relation[x]=(relation[x]+relation[tmp])%3;
return fa[x];
}
int main(){
n=read();m=read();
reg int ans=0;
for(reg int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(reg int i=1,o,x,y;i<=m;i++){
o=read();x=read();y=read();
if(x>n||y>n){ans++;continue;}
if(o==2&&x==y){ans++;continue;}
int findx=find(x),findy=find(y);
if(findx!=findy) link(x,y,findx,findy,o);
else{
if(o==1){if(relation[x]!=relation[y]) ans++;}
else{
if((relation[y]+3-relation[x])%3!=1) ans++;
}
}
}
std::printf("%d",ans);
return 0;
}
