P3239 [HNOI2015]亚瑟王

同bzoj4008

题目描述

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了，洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。他决定，在脱坑之前，最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战，就一定要打得漂亮。众所周知，亚瑟王是一个看脸的游戏，技能的发动都是看概率的。

作为一个非洲人，同时作为一个前 OIer，小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码，连 Spaly都敲不对了，因此，希望你能帮帮小 K，让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。

本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 玩家有一套卡牌，共\(n\) 张。游戏时，玩家将\(n\) 张卡牌排列成某种顺序，排列后将卡牌按从前往后依次编号为 \(1 - n\)。本题中，顺序已经确定，即为输入的顺序。每张卡牌都有一个技能。第$ i$ 张卡牌的技能发动概率为 \(p_i\) ，如果成功发动，则会对敌方造成 \(d_i\)点伤害。也只有通过发动技能，卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小 K 非洲血统的考虑，\(p_i\)不会为\(0\)，也不会为\(1\)，即 \(0 < p_i < 1\)

一局游戏一共有\(r\) 轮。在每一轮中，系统将从第一张卡牌开始，按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中，对于依次考虑的每一张卡牌：

如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能，则

• 如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之（考虑下一张卡牌）
• 否则（是最后一张），结束这一轮游戏。

否则（这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能），设这张卡牌为第\(i\)张

• 将其以\(p_i\)的概率发动技能。

• 如果技能发动，则对敌方造成\(d_i\)点伤害，并结束这一轮。

• 如果这张卡牌已经是最后一张（即\(i=n\)），则结束这一轮；否则，考虑下一张卡牌。

请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

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题解

将期望转换为概率
如果第\(i\)张被打出的概率是\(s_i\)，那答案显然是\(\sum_{i=1}^n s_i d_i\)

下面求\(s_i\)
因为每轮只能有一张牌发动，所以将\(r\)轮视为\(r\)个出牌机会
一开始居然没看见这点，以为是个水题
考虑设计状态为\(f_{i,j}\)，表示前\(i\)个牌，还剩\(j\)个机会没用的概率
那如何转移？
比如现在正在考虑第\(i\)个牌，如果选这一个，很显然机会要减一，可以由：

\[f_{i-1,j+1}(1-(1-p_i)^{j+1}) \]

转移而来，其中，\((1-p_i)^{j+1}\)就是剩下\(j+1\)次机会都不用\(i\)的概率，然后再用一减它，就是这\(j+1\)次机会中至少让它发动一次的概率

如果不选，机会不变，可以由：

\[f_{i-1,j}(1-p_i)^{j} \]

转移而来，结合上面的阐述，\((1-p_i)^{j}\)就是\(i\)在剩下\(j\)次机会中都不能被用的概率

最后考虑如何从\(f\)向\(s\)转换

\[s_i=\sum_{j=1}^r f_{i-1,j+1}(1-(1-p_i)^{j+1}) \]

也就是已经选好前\(i-1\)个牌，剩余任意（不为0）次机会，再乘上刚才说的\((1-(1-p_i)^{j+1})\)就行了

最后，多测不清零，40分两行泪
另外清零的时候要清的比实际范围大一点，因为会访问超出实际范围的下标，看代码就知道了

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline int read(){
	int x=0,y=1;
	char c=std::getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
	return y?x:-x;
}
int n,r;
double f[250][250];//f[i][j]为前i张还剩j次机会的概率 
double p[250];
int d[250];
double power[250][250];
int main(){int T=read();while(T--){
	n=read();r=read();
	for(reg int i=1;i<=n;i++){
		std::scanf("%lf",p+i);d[i]=read();
		p[i]=1-p[i];power[i][0]=1;power[i][r+1]=0;
		for(reg int j=1;j<=r;j++)
			power[i][j]=power[i][j-1]*p[i];
	}
	reg double ans=0;
	for(reg int i=0;i<=240;i++)for(reg int j=0;j<=240;j++)f[i][j]=0;
	f[0][r]=1;
	for(reg int i=1;i<=n;i++){
		reg double s=0;
		for(reg int j=r;~j;j--){
			f[i][j]=f[i-1][j]*power[i][j];
			f[i][j]+=f[i-1][j+1]*(1-power[i][j+1]);
			s+=f[i-1][j+1]*(1-power[i][j+1]);
		}
		ans+=s*d[i];
	}
	std::printf("%.10lf\n",ans);
}
	return 0;
}