行列式学习笔记

updata on 2020.3.29

修了一些炸了的公式，原本在洛谷博客上是好的，搬过来成这样了
然后去掉了定理部分的列表，把一堆行间公式放在列表里是怎么想的。。。
然而#4和#5还是没填

on 2020.11.21

这篇后面两个内容耽误太久了，现在并不准备把它写完了，置顶也去掉了
发现那个奇怪的高斯消元方法好像是假的，删掉了它

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1.排列和逆序对

1.1排列

将n个数按任意顺序排序，得到长度为n的排列
显然有\(n!\)种不同排列
在一个排列种，对换其中两数，其他数不动，的得到另一个排列，叫做对换

1.2逆序对

对于排列\(a_1,a_2,\dots a_n\)，\((i,j),i<j,\text{且}a_i>q_j\)称为一个逆序对

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好了可以认为以上都是废话

1.3

奇排列：逆序对数量是奇数
偶排列：逆序对数量是偶数
一些定理：

对换改变排列的奇偶性
设对换\(a_i,a_j(i\leq j)\)两个元素
考虑相邻的两个元素对换，逆序对数量\(+1\text{或}-1\)，改变排序奇偶性
我们对换\(a_i,a_j\)时每次都只对换相邻的两个元素
\(a_i,a_{i+1},\dots,a_j\)
\(\rightarrow a_{i+1},a_i,a_{i+2},\dots ,a_j\)
\(\rightarrow a_{i+1},a_{i+2},a_i,a_{i+3},\dots,a_j\)
\(\dots\)
\(\rightarrow a_{i+1},a_{i+2},\dots a_j,a_i\)
然后再用相同的方法把\(a_j\)向左移动
移动\(i\)时移动\(j-i\)次，移动\(j\)要\(j-i-1\)次
所以共移动\(2(j-i)-1\)次，奇数
改变奇数次奇偶性，所以奇偶性肯定被改变

在\(n>1\)的排列中，奇偶排列各占一半
尝试将奇偶排列一一对应
设\(a_1,a_2,\dots,a_n\)为奇排列
则\(a_2,a_1,a_3,\dots,a_n\)为偶排列
所以建立起这种一一对应的关系，就可以证明奇偶排列数量相等

任意排列可以经给一系列对换变成自然排列，所作对换次数的奇偶性与这个排列的奇偶性相同
构造一种对换顺序，将1换到\(a_1\)上，2交换到\(a_2\)上，\(\dots\)
对换次数那个就不证了严格怎么证不大会

 
然而这些定理行列式种用到也不多

2.行列式

2.1定义

终于进入正题
n阶行列式由\(n^2\)个数通过下式确定一个数

\[\left |\begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,n} \\ a_{2,1}&a_{2,2}&\dots&a_{2,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,n} \\ \end{array}\right| \]

\[=\sum_{j_1j_2\dots j_n}{sgn(j_1j_2\dots j_n)}a_{1,j_1}a_{2,j_2}\dots a_{n,j_n} \]

当然看到这个式子很是懵
叙述一遍：枚举\(1\)到\(n\)的全排列（\(j_1,j_2,\dots,j_n\)），对于每一种排列，求\(a_{1,j_1}a_{2,j_2}\dots a_{n,j_n}\)再乘：
\(sgn(j_1j_2\dots j_n)= \begin{cases} 1&j_1j_2\dots j_n\text{是偶排列}\\ -1&j_1j_2\dots j_n\text{是奇排列}\\ \end{cases} \)
然后还是很懵
其实就是每行取一个数，每列取一个，乘起来，再乘那个\(sgn\)
可以自己找个例子试试
要注意矩阵和行列式是不同的，行列式就是一个数，矩阵是数表
显然，按照定义直接求行列式的值是\(O(n!n)\)

2.2一堆定理

2.2.1行列互换，值不变

比如

\[\left |\begin{array}{cccc} 1&2&3 \\ 4&5&6 \\ 7&8&9 \\ \end{array}\right| \]

变成：

\[\left |\begin{array}{cccc} 1&4&7 \\ 2&5&8 \\ 3&6&9 \\ \end{array}\right| \]

在取数的时候，\(\sum\)中的每一项都是只在每行取一个数，每列取一个
所以无论从行还是列去看，都是取了所有数
然后这个有一种“对称的”感觉
感性理解

2.2.2用一个数去乘某个行列式等于用这个数乘此行列式的某一行

比如这个数是\(k\)乘在第\(i\)行里
则：

\[\left |\begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ ka_{i,1}&ka_{i,2}&\dots&ka_{i,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,n} \\ \end{array}\right| \]

在那个\(\sum\)中的每一项肯定都会乘一个第\(i\)行的数，所以把这个第\(i\)行的数中的\(k\)提出了，就是\(k\times \text{这个行列式乘k以前的值}\)

2.2.3如果行列式中某一行是两组数之和，则这个行列式等于分别以这两组数为改行，其余行与这个行列式相等的两个行列式之和

即：

\[\left |\begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ b_{i,1}+c{i,1}&b_{i,2}+c{i,2}&\dots&b_{i,n}+c{i,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,n} \\ \end{array}\right| = \left |\begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ b_{i,1}&b_{i,2}&\dots&b_{i,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,n} \\ \end{array}\right| + \left |\begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ c_{i,1}&c_{i,2}&\dots&c_{i,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,n} \\ \end{array}\right| \]

在等号左边的行列式等于\(\sum{\dots\times (b_{i,j}+c_{i,j})}\)简写了
把那个\(\dots\)乘进去，就是\(\sum{\dots\times b_{i,j}}\)和\(\sum{\dots\times c_{i,j}}\)，分别对应等号右边的两个行列式

2.2.4交换行列式两行，行列式符号改变

设把\(i,j\)两行交换
则改变的只有\(sgn(j_1j_2\dots j_n)\)，根据我们在排列中的定理，做一次对换奇偶性改变，则它的正负就改变，所以变号

2.2.5如果行列式中两行成比例，行列式等于0

考虑下面这个行列式：

\[\left |\begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{i,1}&a_{i,2}&\dots&a_{i,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ ka_{i,1}&ka_{i,2}&\dots&ka_{i,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,n} \\ \end{array}\right| \]

首先由定理2，把它变成：

\[k\times \left |\begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{i,1}&a_{i,2}&\dots&a_{i,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{i,1}&a_{i,2}&\dots&a_{i,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,n} \\ \end{array}\right| \]

再由定理4，交换这里相同的两行，行列式形式不变，值就不变，但它的值又应该变为相反数
相反数等于本身，所以必然是0

2.2.6把一行的某个倍数加到另外一行，值不变

把第\(i\)行的\(k\)倍加到第\(j\)行：

\[\left |\begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{i,1}&a_{i,2}&\dots&a_{i,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ ka_{i,1}+a_{j,1}&ka_{i,2}+a_{j,2}&\dots&ka_{i,n}+a_{j,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,n} \\ \end{array}\right| = \left |\begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{i,1}&a_{i,2}&\dots&a_{i,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{j,1}&a_{j,2}&\dots&a_{j,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,n} \\ \end{array}\right| + \left |\begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{i,1}&a_{i,2}&\dots&a_{i,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ ka_{i,1}&ka_{i,2}&\dots&ka_{i,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,n} \\ \end{array}\right| = \left |\begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{i,1}&a_{i,2}&\dots&a_{i,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{j,1}&a_{j,2}&\dots&a_{j,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,n} \\ \end{array}\right| \]

用到了定理5和定理3
这也是后面要常用的一个定理

2.2.7终于没了

然后又因为定理1，下面几个定理对行的操作也都可以到列上

3如何更快的求值

3.1考虑一种特殊行列式

\[\left |\begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\dots&a_{1,n} \\ 0&a_{2,2}&a_{2,3}&\dots&a_{2,n} \\ 0&0&a{3,3}&\dots&a{3,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&0&\dots&a_{n,n} \\ \end{array}\right| \]

显然它的值是\(\prod_{i=1}^{n}a_{i,i}\)，因为求行列式的那个\(\sum\)里其他项都会乘个0

3.2高斯消元

这个东西还可以用来解n元一次方程
有了这个，就可以进入高斯消元了
考虑把一个普通行列式变成上面那种形式
一列一列的消
考虑第一列，对于第\(i\)行（当然\(i\)不等于1），让它每个元素\(a_{i,j}\)减去\(\dfrac{a_{i,1}}{a_{1,1}}\times a_{1,j}\)（定理6）
这样就让\(2\)到\(n\)行的第一列的元素变成了0
然后用第2行的\(a_{2,2}\)到\(a_{2,n}\)这\(n-1\)个元素，将\(a_{3,2}\)到\(a_{n,2}\)（也就是第二列）消成0
同理，用第3行消第3列，第4行消第4列，\(\dots\)
当然不用考虑在消后面的元素的时候把前面已经消成0的破坏
因为如果在用第\(i\)行消第\(i\)列，\(a_{i,1}\)到\(a_{i,i-1}\)和他们之间的每一个数肯定都已经消成了0，所以用他们的任意倍去减下面的\(a_{j,h}(1\leq h\leq i-1\)，它已经被消成0了)还是0
所以可以写出代码
因为没有找到题，本文所有代码未验证，可能有错

double gauss(){
	double x=1;
	for(reg int i=1;i<=n;i++){
		for(reg int j=i;j<=n;j++){//找一个不为0的项 
			if(std::abs(a[j][i])>1e-8) {
				if(j==i) break;
				std::swap(a[i],a[j]);
				x=-x;//根据定理5，交换两行行列式变好 
				break;
			}
		} 
		if(std::fabs(a[i][i])<=1e-8) return 0;//没有不为0的项了，行列式值为0 
		for(reg int j=i+1;j<=n;j++){
			double k=a[j][i]/a[i][i];
			for(reg int h=1;h<=n;h++)
				a[j][h]-=a[i][h]*k;
		}
	}
	for(reg int i=1;i<=n;i++) x*=a[i][i];
	return x;
}

然而，这样可能精度会出问题
比如我们被给定的行列式都由正数组成，然而我们一直在用实数来算
所以我们基本不会用上面那种。。。

3.3精度更高的高斯消元

可以发现，整个高斯消元中，产生最大精度误差的是这一句：

double k=a[j][i]/a[i][i];  

考虑如何减小
比如我们由两个数，\(a=10^5,b=10^{-5}\)
则\(\dfrac{k}{10^5}\)和\(\dfrac{k}{10^{-5}}\)谁精度高呢？这里\(k\)是c++浮点数
当然是第一种，因为\(\dfrac{k}{10^{-5}}=k\times 10^5\)，所以，更多的数位会去用来表示整数部分，表示小数部分的少了，就没有第一种误差小
所以我们每次可以选一个最大的a[i][i]来做除数
具体实现在上一个代码改一改就好了
因为在数学上一个矩阵或是什么中的最大数叫主元，所以整个方法叫主元高斯消元

double gauss(){
	double x=1;
	for(reg int i=1;i<=n;i++){
		int maxline=i;//最大数的行号 
		for(reg int j=i+1;j<=n;j++)
			if(std::abs(a[maxline][i])<std::fabs(a[j][i])) maxline=j;
		if(maxline!=i) std::swap(a[maxline],a[i]),x=-x;
		for(reg int j=i+1;j<=n;j++){
			double k=a[j][i]/a[i][i];
			for(reg int h=1;h<=n;h++)
				a[j][h]-=k*a[i][h];
		}
	}
	for(reg int i=1;i<=n;i++) x*=a[i][i];
	return x;
}

3.4辗转相消法

又是然而，主元高斯消元减少了误差，但没完全避免
所以我们能不能在过程中不用实数运算来避免误差呢？
用一种类似于辗转相除的方法
当然也要用定理6
还是一列一列消元，不断用数大的行减去数小的行，直到减成0
然后可以像求\(\gcd\)的时候一样把减改成模
然后这种方法的复杂度是\(O(n^2(n+\log n))\)
因为求\(n\)个数的\(\gcd\)的最大公因数实际上是\(O(n+\log n)\)的
直接看代码吧，我实在想不出怎么描述了.....
很像辗转相除的
但是它没有用double的运算，所以它的常数和前面两种差别不大

int gauss(){
	int x=1;
	for(reg int i=1;i<=n;i++){
		for(reg int j=i+1;j<=n;j++){
			while(a[j][i]!=0){
				int k=a[i][i]/a[j][i];
				for(reg int h=1;h<=n;h++) a[i][h]-=a[j][h]*k;
				for(reg int h=1;h<=n;h++) std::swap(a[i][h],a[j][h]);
				x=-x;
			}
		}
	}
	for(reg int i=1;i<=n;i++) x*=a[i][i];
	return x;
}