CF1333 简要题解
构造场，虽然题目有点毒瘤但是还是很有趣的，请多来点这样的 round，我什么都不会做的。
- A
考虑第一列和第一行染黑，其余染白的情况，发现恰好满足条件。什么，你问怎么想到的？这……
- B
由于只能从左向右加，显然先让右边的元素满足条件最合适。因此无解的条件是：
- \(a_i<b_i\)，且 \(\forall j<i, a_{j}\leq 0\)；
或者
- \(a_i>b_i\)，且 \(\forall j<i, a_j\geq 0\)。
- C
还算简单的题目，稍微卡了一小会。
设 \(s_i=\sum_{j=1}^i a_i\)，则一个区间 \([l, r]\) 是 “不好的”，当且仅当 \(s_{r}-s_{l-1}=0\)，即 \(s_r=s_{l-1}\)（注意 \(s_0=0\)）。
由左向右枚举答案的右端点 \(x\)，考虑哪些左端点 \(y\) 是合法的：显然对于其左的所有 “不好的” 区间 \([l_i, r_i]\)，有 \(y>l_i\)，除此之外没有其他限制。
因此，扫描时对于每个子区间的右端点 \(r_i\)，求出它左边可以和它构成 “不好的” 区间的最大的 \(l_i\)，就可以算出每个 \(x\)，在哪段范围内的 \(y\) 是合法的，这一步可以用 map 简单完成。
- D
考虑两个学生翻转方向的过程，其实相当于互相交换了位置。因此，原序列可以看作一个 \(01\) 串，我们的目的是将它排序，每次可以选中若干个的 10，并将它们交换位置。要求在恰好 \(k\) 次内完成。
注意到每次交换一个 10，都恰好消除了一个逆序对。因此 \(k\) 大于逆序对总数的情况下无解。
另外，每次选中一些 10 前，每个 10 都是互不相交的，因此可以每次将所有可能的 10 都选中，不难看出这是最快消除所有逆序对的方式。设如此操作一共花了 \(x\) 步，那么 \(k<x\) 的情况下也无解。
否则，我们需要把 \(x\) 步中每一步选出的位置分成若干个非空子集，使得最后有恰好 \(k\) 个子集，方案不难构造。
- E
看起来是最难的一道题，实际上……确实是最难的（
vp 场上没做出来，赛后花了点时间研究出来了。
首先 \(n\leq 2\) 的时候，queen 可以一步到达任意位置，所以无解。
\(n=3\) 的时候可以先打个表，然后发现可行的方案非常多（虽然大部分方案都是对称的）。
如果你运气好或者善于观察，可以发现这样一个 \(3\times 3\) 的矩阵（或者它对称后的样子）：
发现一直到 \(6\) 为止，rook 和 queen 的行动路线都是一样的，但是 queen 会选择 \(6\rightarrow7\rightarrow8\)，从而无法回到 \(9\)。这启发我们，由于 queen 包含了 rook 可能的所有操作，我们先诱导它们，在前面的绝大部分路程中都走过相同的路径，而在临近终点时，利用 queen 可以斜向贪心的性质，将它引诱到某个岔路上去。
在上面的矩阵中，\(6\rightarrow7\rightarrow8\) 这条路线就引诱了 queen 贪心地追求 \(7\)。
因此我们可以直接在这个矩阵的基础上拓展，详见代码：
for (R int i = 2; i < n; ++i) ans[2][i] = ++cnt;
for (R int i = 3; i <= n; ++i) {
if (i & 1) {
for (R int j = n - 1; j; --j)
ans[i][j] = ++cnt;
}
else {
for (R int j = 1; j < n; ++j)
ans[i][j] = ++cnt;
}
}
for (R int i = n; i > 2; --i)
ans[i][n] = ++cnt;
for (R int i = n; i > 2; --i)
ans[1][i] = ++cnt;
ans[1][2] = ++cnt, ans[2][1] = ++cnt;
ans[2][n] = ++cnt, ans[1][1] = ++cnt;
注意此处实际上将上面的 \(8\) 看作放在了第 \(n\) 列。
- F
诶 dls 怎么秒了，大概是原题，先做这个吧。
诶大家怎么都秒了，哦原来是真的水（
首先一个直观的认识是，\(k\) 比较小的时候只选质数和 \(1\)，可以保证 \(\max(\gcd)=1\)。
考虑某个合数 \(x=p\cdot q\)，则对于任意的 \(y\)，有 \(\gcd(x, y)\geq \max(\gcd(p, y), \gcd(q, y))\)。也就是说，如果我们选了某个合数 \(x\)，必然会先选它所有的因子，否则必然不优。
此时考虑一个新加入的 \(x\) 的贡献：由于 \(x\) 在之前还没有选，\(x\) 的倍数也不可能被选。因此新增 \(x\) 后，它产生的贡献是 \(\gcd(x, \frac{x}{p})=\frac{x}{p}\)，其中 \(p\) 是 \(x\) 最小的质因子。
于是就做完了，筛出每个 \(x\) 最小的质因子 \(p\)，按照 \(\frac{x}{p}\) 排序后逐个加入即可。
实际上由于不需要输出方案，考虑每个 \(y\) 作为答案存在的区间，其实就是有多少个 \(x\) 满足 \(\frac{x}{p}=y\) 而已，按照 \(y\) 从小到大输出它对应的区间长度次即可。复杂度 \(O(n)\)，瓶颈在于线性筛最小质因子。
所以为什么不让 \(n\leq 3\times 10^7\)，并输出答案序列的哈希值呢。
顺便提一句，抢在官方题解之前发布，很开心（
