【学习笔记】Nim积

定义

定义作用在两个非负整数 $a, b$ 上的运算 $\otimes$ 为 $a\otimes b=\operatorname{mex}_{0\leq i< a, 0\leq j<b}\{(a\otimes j)\oplus (i\otimes b)\oplus (i\otimes j) \}$ ，其中 $\oplus$ 为按位异或操作，也称为 Nim和， $\otimes$ 即为 Nim积。

基本性质

与整数的乘法和加法类似，Nim积和 Nim和满足交换律，结合律和分配律，即：

$a\otimes b=b\otimes a$
$(a\otimes b)\otimes c=a\otimes (b\otimes c)$
$(a\oplus b)\otimes c=a\otimes c\oplus b\otimes c$

同时， $0$ 和 $1$ 分别是 Nim积的零元和单位元，即：

$0\otimes a=a\otimes 0=0$
$1\otimes a=a\otimes 1=a$

由于 Nim积与整数乘法如此高的相似性，许多由整数乘法和加法实现的算法，均可以用 Nim积和 Nim和来代替整数乘法和加法，如高斯消元等。

计算方式

经过数学家们的努力，人们得到了 Nim积的两条重要规律：

设 $k$ 为满足 $2^{2^k}> a$ 的非负整数，则 $a\otimes 2^{2^{k}}=a\cdot 2^{2^{k}}$
$2^{2^{k}}\otimes 2^{2^{k}}=\frac{3}{2}\cdot 2^{2^{k}}$

其中形如 $2^{2^k}$ 的数被称为费马数。

有了这两条规律，结合上述的基本性质，我们可以得到一个单次 $O(\log^2 n)$ 复杂度的分治算法：

若 $\min(a, b)\leq 1$ ，返回 $a\cdot b$ 。
若 $\max(a, b)< 2^8$ ，且曾经计算过 $a\otimes b$ ，则返回记忆的值。（很强的常数优化）
否则设 $k$ 为满足 $2^{2^k}>\max(a, b)$ 的最小非负整数， $a_0, b_0$ 为 $a, b$ 较低的 $2^{2^{k-1}}$ 位， $a_{1}, b_{1}$ 为 $a, b$ 较高的 $2^{2^{k-1}}$ 位（即 $2^{2^{k-1}}>a_0, b_0, a_1, b_1$ ），则：

\begin{aligned} a \otimes b & = a_{0} \otimes b_{0} \oplus 2^{2^{k - 1}} \otimes (a_{1} \otimes b_{0} \oplus a_{0} \otimes b_{1}) \oplus (2^{2^{k - 1}} \oplus 2^{2^{k - 1} - 1}) \otimes a_{1} \otimes b_{1} \\ = a_{0} \otimes b_{0} \oplus 2^{2^{k - 1}} \cdot ((a_{0} \oplus a_{1}) \otimes (b_{0} \oplus b_{1}) \oplus a_{0} \otimes b_{0}) \oplus 2^{2^{k - 1} - 1} \otimes a_{1} \otimes b_{1} \end{aligned}

$\begin{aligned}a\otimes b&= a_0\otimes b_0\oplus 2^{2^{k-1}}\otimes (a_{1}\otimes b_{0}\oplus a_0\otimes b_1)\oplus (2^{2^{k-1}}\oplus2^{2^{k-1}-1})\otimes a_1\otimes b_1\\&=a_0\otimes b_0\oplus 2^{2^{k-1}}\cdot ((a_0\oplus a_1)\otimes (b_0\oplus b_1)\oplus a_0\otimes b_0)\oplus 2^{2^{k-1}-1}\otimes a_1\otimes b_1\end{aligned}$

实现代码如下：

ull nimProd(ull x, ull y, int p = 32) {
    if (x <= 1 || y <= 1) return x * y;
    if (p < 8 && rem[x][y]) return rem[x][y];
    ull a = x >> p, b = ((1ull << p) - 1) & x, c = y >> p, d = ((1ull << p) - 1) & y;
    ull bd = nimProd(b, d, p >> 1), ac = nimProd(nimProd(a, c, p >> 1), 1ull << p >> 1, p >> 1), ans;
    ans = ((nimProd(a ^ b, c ^ d, p >> 1) ^ bd) << p) ^ ac ^ bd;
    if (p < 8) rem[x][y] = rem[y][x] = ans;
    return ans;
}