ZROI 19.08.02 计算几何

1.向量基础知识

• \(atan2\)可以求极角，但是不是特别精确，在坐标接近\(10^{9}\)时会出锅，安全的做法是叉积。

• 旋转、反射和平移等都可以抽象为矩阵，即，它们可以复合。（需要一些必修四知识）

• 给一个序列，每个位置表示旋转、反射、平移中的一种，求\((x,y)\)经过序列\([l,r]\)的点。

线段树维护矩乘就好了，矩阵里需要带个常数位置。

• Simpson积分

不会积分，告辞。

2.简单题

• 求点\(p\)在直线\(p_1p_2\)上的投影。

投影就是点积，直接积就行了，必修四怎么学的。

---

• 求点\(p\)在直线\(p_1p_2\)的反射点。

跟上面的一模一样。

---

• 判断两个向量的\(5\)种位置关系。

叉积判出不共线的两种，剩下的直接比较横坐标就可以了。

---

• 给两条直线，问它们是平行还是垂直还是都不是。

平行向量叉积为\(0\)，垂直向量点积为\(0\)。

---

• 判两条线段是否相交（不严格，端点交也算）。

跨立实验：对于一条线段，看另一条线段的两个点是否在它两侧，两边都是的话就对。

在一条直线上的情况会锅。

可以先判断外接矩形是否相交。（必要条件，不充分）

---

• 求两条线段交点，保证有交（其实可以用上面的判一下）。

发现答案是\(A\cdot k_A\)或者\(B\cdot k_B\)的形式，列两个方程解就行了。

特判共线情况。

---

• 求两条线段距离。（\(A,B\)各找一个点，使距离最小）。

发现一定取在某条线段的端点，转化为求点到线段距离。

计算\(A\)在\(p_1p_2\)上投影占\(p_1p_2\)比例，\(\leq 0\)离\(p_1\)最近，\(\geq 1\)离\(p_2\)最近，否则离投影点最近。

---

• 逆时针给一个多边形，求面积。

一路叉积过去就好。

---

• 逆时针给一个多边形，求是否凸。

一路叉积过去，两两边之间的叉积都要\(>0\)。

---

• 逆时针给一个多边形，求一个点在多边形内、上还是外。

在多边形上很好判。

射线法，交奇数次在内部，偶数次在外部，但是会出现一些问题。

一种简单办法是把射线斜率设为无理数。

否则就要特判。硬点射线斜率是\(0\)，且水平向右。

依次考虑每条边，平行的可以直接无视。

本质要解决的是穿过顶点的问题。

如果\(A\)在\(R\)上，且\(AB\)向上，或\(B\)在\(R\)上，且\(AB\)向下则算相交。

---

• 给点集，求凸包。

烂大街经典问题。

---

• 给凸包，求直径。

旋转卡壳。从横坐标最小和最大的点开始，每次前移一条边（类似双指针）。

---

• 给凸多边形和一条射线，求凸多边形在射线左侧的面积。

扫一遍凸多边形，把符合要求的顶点和交点都拿出来求面积。

---

-\(n\)个点求最近点对。

分治，对于跨过中点的点对，只要找\(|x_i-x_j|\)不超过\(d\)的点即可。按\(y\)排序，每个点有贡献的点是常数个。

---

• 圆之间的关系：相离（\(2+2\)条公切线），外切（\(1+2\)），相交（\(0+2\)），内切（\(0+1\)），包含（\(0+0\)）。

---

• 求圆和直线的交点。

求出弦心距，即可解出三角形，用夹角计算即可。

---

• 求两个圆交点。

可以形成一个三边长为\(r_1,r_2,dis(o_1,o_2)\)的三角形，余弦定理解出夹角即可。

---

• 点到圆的切点。

解三角形求夹角。

---

• 求两个圆的公切线（\(0-4\)条）。

判一下\(0,1\)条公切线的情况。否则一定有两条外公切线。

由于公切线垂直于两条半径，可以平移一下，构造一个\(r_1-r_2,d,len\)的直角三角形，解三角形即可。

内公切线形成了两个相似三角形。

---

• 求圆和多边形交的面积。

可以把多边形切成若干个有向三角形，转化成圆和三角形交的面积。

不妨把三角剖分的原点设为圆心。

如果整个三角形都在圆内，返回三角形面积。

如果整个\(AB\)都在圆外（垂线长\(\geq r\)），返回扇形面积。

否则按照\(AB\)与圆的交点切开，递归处理。发现最多递归常数次。

---

• 最小圆覆盖。

经典问题，随机增量法。

3.较难题

• \(n\)个圆盘从天而降，后面的会盖住前面的，求最后可见的轮廓线总长。\(n\leq 1000\)。

对每个圆盘求出后面的圆盘覆盖它的角度区间（求两个交点），并一下即可求出可见弧长。

---

• 一棵有根树，每个点有\(a_i,b_i\)，从某个点跳到子树某个点上，代价为\(a_i\cdot b_j\)。问每个点出发，跳到任意叶子节点最小代价。\(n \leq 10^5\)。

斜率优化的经典形式。启发式合并或者DSU on tree都可以。

---

• 给若干个向量，每个向量有个代价。可以选若干个，用非负系数组合它们，要求能组合出任意向量，问最小代价。\(n\leq 2\times 10^5\)。

每个向量等价于一个射线。相当于要找三个向量，使得两两之间极角差$ <\pi$。

每个向量取反之后插进去，发现答案一定首尾之间\(<\pi\)，并且答案形如“正反正”的三个向量。

特判四个互相垂直的情况。

---

• \(n\)个点，问多少对顶点是这些点的三角形不相交（重合面积为\(0\)且无交点）。\(n \leq 2000\)。

结论：两个三角形不相交等价于它们有两条内公切线。

可以枚举两个点组成的公切线，求出两边点对数。

---

• 圆反演：有一个圆作为基础，设为单位圆。每个点到圆心的向量方向不变，长度变为倒数。

---

• \(n\)次操作，每次加入一个过原点的圆，或者询问一个点\((x,y)\)是否在所有圆内部。\(n\leq 5\times 10^5\)。

结论：过原点的圆反演后变成一条不过原点的直线。

在圆内部等价于反演后的点在反演后的直线特定的一侧。

动态半平面交，分治维护凸包即可。

---

• 给定平面上不相交的两个圆和圆外一点，求过这个点且与两个圆外切的圆。

结论：不过原点的圆反演后还是不过原点的圆，且相交/相切等位置关系反演后仍然成立（因为同一个点反演后还是同一个点）。

圆反演后求公切线即可，需要一些特判。

---

• 给出\(n\)个不相交的多边形，每次给出一个点，问它在哪个多边形内，或者不在任何一个多边形内，强制在线。\(n,q\leq 10^5,\sum points\leq 3\times 10^5\)。

多边形不相交是很强的限制。

硬点多边形的边是逆时针给出的。

对每个点找到竖直往上走最近的边，如果是从左往右则不在，否则在对应多边形内部。

如果可以离线，按横坐标扫描线一下，维护线段之间的上下位置关系。由于线段不相交，上下关系只会在插入删除时才会改变。用set维护就行了。

强制在线需要一个可持久化treap，不会写。

一大堆特判。

---

• CF704E Iron Man

考虑一个二维平面，横轴时间，纵轴dfs序。

树剖以后变成\(m\log n\)条线段，求最早相交时间。

按\(x\)扫描线，set维护\(y\)的大小关系。

如果两条线段有交，它们一定在某个时刻在set中相邻，否则任意两条线段之间关系不会改变。

插入删除的时候check一下前驱后继即可。

---

• 一个凸多边形，\(q\)组询问，给出\((x_i,y_i)\)，求经过这一点的直线，把凸多边形面积平分，输出极角或无解。\(n\leq 10^4, q\leq 10^5\)。

设\(f(x)\)表示极角为\(x\)的射线左侧-右侧的面积。有\(f(0)=-f(\pi)\)，所以必然存在零点，二分这个点即可。

考虑对叉积求前缀和，先二分出射线落在哪两条边上，然后内部的变化是线性的，可以直接算。

4.微积分在计算几何中的应用

这一段疯狂掉线……我太菜了。

---

• 偏导数：多元函数只导其中一维。

• 重积分：多元函数的每一维都积分，比如\(k\)维空间，对空间的每一个点都取一个函数值，取的足够细时有一个极限。

• 曲线积分：把曲线参数化然后积分。

• 闭合曲线的面积：掉线了，咕咕咕。

• 一元函数的极值：极大不代表最大，只需要一个足够小的邻域，在邻域内最大。极值点导数为\(0\)。

• 驻点：导数为\(0\)的点。极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点。求一个函数的最大值，可以把所有驻点、不可导点都拉出来check一下。

• 对于多元函数，可以对每一维偏导，然后硬点每个偏导都为\(0\)，解方程就行了。

• 可以把原函数进行修改，使得它在一些边界可导（\(|x|->x^2\)）。

• 拉格朗日乘数法：假设有若干\(g_i(x_1,…,x_n)=0\)的限制条件，在这种条件下最大化\(f(x_0,…,x_n)\)的值，可以设\(F(x_0,…,x_n,\lambda_0,…,\lambda_m)=f(x_0,…,x_n)+\sum_{j=0}^m\lambda_i g_i(x_1,…,x_n)\)，然后对\(F\)的每一维偏导，利用上面的方法求解。

• 曲线的切线、法平面：掉线了，咕咕咕。

• 曲面的切平面、法线：掉线了，咕咕咕。