HDU 4549 M斐波那契数列

M斐波那契数列

  M斐波那契数列F[n]是一种整数数列,它的定义如下: 

  F[0] = a  
  F[1] = b 
  F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 ) 

  现在给出a, b, n,你能求出F[n]的值吗?

Input

  输入包含多组测试数据; 
  每组数据占一行,包含3个整数a, b, n( 0 <= a, b, n <= 10^9 )Output对每组测试数据请输出一个整数F[n],由于F[n]可能很大,你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可,每组数据输出一行。

Sample Input

0 1 0
6 10 2

Sample Output

0
60

解题思路:
  本题有多组测试,给定公式F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 ) ,每组测试给出三个整数a,b,n,a与b分别为第一位与第二位的值,n为需要求出的位。

  我们根据给出的公式继续向下寻找规律

  

F[0] = a  
F[1] = b
F[2] = a * b
F[3] = a * b * b = a * b^2
F[4] = a * b^2 * a * b = a ^2 * b ^3
F[5] = a ^2 * b^3 * a * b^2 = a^3 * b^5
F[6] = a^3 * b^5 * a^2 * b^3 = a^5 * b^8
F[7] = a^5 * b^8 * a^3 * b^5 = a^8 * b^13
F[8] = a^8 * b^13 * a^5 * b^8 = a^13 * b^21
……

再观察一手斐波那契数列f(n)
1123581321……

哦,天哪!!!

F[n] = a^f(n-1) * b^f(n) ( n > 1 ) 

找到了规律!获得了巨大的快乐

  这个题已经简化为了求a的斐波那契数列n-1项次幂 * b的斐波那契数列n项次幂。

  斐波那契数列第n项和n-1项怎么求,递归?——不行,n < 1e9 太庞大。

  斐波那契数列公式f(n) = f(n - 1) + f(n - 2),我们拿出相邻的两项建立一个2 * 1的矩阵

  想要求斐波那契数列的第n项与第n-1项只需求出初始矩阵的n-1次幂即可,之后求出a的第n-1项次幂与b的第n项次幂即可。

  这里就要用到快速幂,与矩阵快速幂。

  

  快速幂思想:求2^11,11的二进制位1011,11 = 1*2^3  +  0*2^2  +  1*2^1  +  1*2^0,所以可以将2^11转化为2^(2^0) * 2^(2^1) * 2(2^3)。将原先的11次 O(n)优化为了3次O(logn),本题要求取模,又因为积的取余等于取余的积的取余,我们可以直接在快速幂的过程中取模以得到取模后的答案。

  快速幂取模:

  

LL power(int a, int b, int mod){    //快速幂
    LL ans = 1;
    while(b){
        if(b & 1){  //从b的二进制末位开始判断
            ans = ans * a % mod;  //如果为1更新取模后的答案
        }
        a = a * a % mod;    //更新底数取模
        b >>= 1;    //b右移一位
    }
    return ans;
}
快速幂取模

  矩阵快速幂与快速幂思想基本一直,只是传入的底数变为了矩阵,乘法也变成了矩阵相乘,这时我们只要开一个结构体记录矩阵并重载*运算符为矩阵乘法即可,根据矩阵乘法运算规则,对于新的*运算我们只要两层for循环,依次计算答案矩阵,之后再内部一层for循环让第一个矩阵只移动行第二个矩阵只移动列,对应相乘再求和即可得出答案。

  

struct matrix{
    LL mat[maxn][maxn]; //mat记录当前矩阵
    matrix operator *(const matrix &a)const{    //重载运算符*
        matrix ans;
        for(int i = 0; i < 2; i++){ //遍历行
            for(int j = 0; j < 2; j++){ //遍历列
                ans.mat[i][j] = 0;  //初始化答案矩阵该位置为0
                for(int k =0; k < 2; k++){
                    //第一个矩阵第i行与第二个矩阵第j列对应相乘
                    ans.mat[i][j] = (ans.mat[i][j] + mat[i][k] * a.mat[k][j]) % (mod-1);
                }
            }
        }
        return ans; //返回答案矩阵
    }
};
matrix power(matrix a, LL b){   //矩阵快速幂
    matrix ans; //答案矩阵
    memset(ans.mat, 0, sizeof(ans.mat));    //初始答案矩阵为单位矩阵    
    for(int i = 0; i < 2; i++){
        ans.mat[i][i] = 1;
    }
    while(b){
        if(b & 1){
            ans = ans * a;
        }
        b >>= 1;
        a = a * a;
    }
    return ans;
}
矩阵快速幂

AC代码

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long LL;
 4 const LL mod = 1e9+7;
 5 const int maxn = 2;
 6 struct matrix{
 7     LL mat[maxn][maxn]; //mat记录当前矩阵
 8     matrix operator *(const matrix &a)const{    //重载运算符*
 9         matrix ans;
10         for(int i = 0; i < 2; i++){ //遍历行
11             for(int j = 0; j < 2; j++){ //遍历列
12                 ans.mat[i][j] = 0;  //初始化答案矩阵该位置为0
13                 for(int k =0; k < 2; k++){
14                     //第一个矩阵第i行与第二个矩阵第j列对应相乘
15                     ans.mat[i][j] = (ans.mat[i][j] + mat[i][k] * a.mat[k][j]) % (mod-1);
16                 }
17             }
18         }
19         return ans; //返回答案矩阵
20     }
21 };
22 matrix power(matrix a, LL b){   //矩阵快速幂
23     matrix ans; //答案矩阵
24     memset(ans.mat, 0, sizeof(ans.mat));    //初始答案矩阵为单位矩阵    
25     for(int i = 0; i < 2; i++){
26         ans.mat[i][i] = 1;
27     }
28     while(b){
29         if(b & 1){
30             ans = ans * a;
31         }
32         b >>= 1;
33         a = a * a;
34     }
35     return ans;
36 }
37 LL pownum(LL a, LL b){
38     LL ans = 1;
39     while(b){
40         if(b & 1){
41             ans = ans * a % mod;
42         }
43         b >>= 1;
44         a = a * a % mod;
45     }
46     return ans;
47 }
48 int main()
49 {
50     LL a ,b, n;
51 
52     while(scanf("%lld%lld", &a, &b) != EOF){    //输入a与b的值
53         matrix a;
54         scanf("%lld", &n);  //输入n
55         a.mat[0][0] = 1;
56         a.mat[0][1] = 1;
57         a.mat[1][0] = 1;
58         a.mat[1][1] = 0;
59         //初始矩阵
60         //特判0与1
61         if(n == 0){
62             printf("%lld\n", a);
63         }else if(n == 1){
64             printf("%lld\n", b);
65         }else{
66             a = power(a, n - 1);    //矩阵快速幂计算斐波那契数列第n-1项与第n项
67             LL ta = a.mat[0][1];    //第n-1项
68             LL tb = a.mat[0][0];    //第n项
69             LL ans = (pownum(a, ta) * pownum(b, tb)) % mod;
70             //计算答案
71             printf("%lld\n", ans);
72         }
73     }
74     return 0;
75 }

 

 

  

posted @ 2018-11-22 23:35  suvvm  阅读(386)  评论(0编辑  收藏  举报