【人工智能】【数学】

【数学基础】

高数+ 线性代数

高数（也叫微积分）：连续的

微分方程：高数的延伸

复变函数：高数的延伸

线性代数：离散的

抽象代数：线性代数的延伸

李群：复变和抽象函数的延伸，是离散的，也是连续的，看从什么维度来分析

 

【自然数N 整数Z 有理数Q  无理数 实数R】

自然数：{1,2,3,.....}

整数：{0,正负1，正负2,.......}

有理数：{m/n | m n 属于整数 且n不等于0}

无理数：比如π

实数：有理数的极限值并不在有理数这个集合里面，那实数就可以包含，所以说实数是“完备的”

# 证明：自然数N 个数 == 整数Z 个数 

  思路：A集合中每个元素和B集合中每个元素都是一一对应的，即这两个集合的势是相等的

 比如Z  0  1 -1  2  -2  3  -3 ....

        N  1  2  3  4   5  6   7....

a 代表Z集合的元素  当a>0  对应在N集合的 2*a位  当a<0  对应在N集合的(-a)*2+1位   对应方式有很多种，只要有一种，就可以证明

# 证明： 自然数N 个数 == 有理数Q 个数   即 φ(Z) = φ(Q)

一样多 可以做对应
0跟0对应
正整数跟正分数对应：
1/1=>1 1/2=>2 2/1=>3 1/3=>4 2/2=>5 3/1=>6 1/4=>7...依次下去 可以将所有正有理数排成一排与用正整数“编号”
于是正有理数不比正整数多；而正有理数又包含正整数 所以一样多
就是说 这两个都是无穷大的集合 但是一样大
负整数跟负有理数同样讨论

同理可推倒 φ(N)= φ(二维空间的有理点) = φ(各种维度空间的有理点)
二维(Q1,Q2)->  (m1/n1,m2/n2)  那么我们只需要证明 自然数n 和 （m1,m2,n1,n2）这样一个四元数列 是一一对应的即可 
我们选取一种数数方式，用取模的方式 |m1| + |m2| + |n1| + |n2| 
当这四个全体都是0的话，那有1种排法,就是都为0
全体等于1，有4种
以此类推，各个组合排法的个数都是可以和自然数一一对应


φ (Z)= φ(N) = φ(Q) 
一个集合，它的个数和自然数的个数一样多的话，我们叫她可数个数