取余操作的原理

虽然以前学过，但是已经忘了，在返秦的火车上看到如此问题，于是思考了一下。

C是高级语言，a-(a整除b)*b就不用说了，“整除”是怎么来的？
但相对于二进制运算，汇编也算一种“高级”语言，那么我问，“div”是怎么来的？

来看一个例子，如果除数的数是2的幂次的话：

• 除数2，二进制为0000 0010，被除数5，二进制为0000 0101。除数-1，即此时除数变为0000 0001，两者进行与操作，结果为0000 0001，余数为1。
• 除数4，二进制为0000 0100，被除数13，二进制为0000 1101。除数-1，即此时除数变为0000 0011，两者进行与操作，结果为0000 0001，余数为1。
• 除数8，二进制为0000 1000，被除数47，二进制为0010 1111。除数-1，即此时除数变为0000 0111，两者进行与操作，结果为0000 0111，余数为7。

原理明白了吧，但这种方法仅仅适用于除数为2的幂次数的时候。
另，这种方法会出现在位图法的位向量操作中，看着是与操作，实际上就是取余。

#define MAX 1000000  
#define SHIFT 5  
#define MASK 0x1F  
#define DIGITS 32  
  
int a[1+MAX/DIGITS];
//置指定位为1
void setbit(int n) 
{ 
 a[n>>SHIFT] |= (1<<(n&MASK)); 
}
//清空指定位                                              
void clearbit(int n)  
{  
 a[n>>SHIFT] &= ~(1<<(n&MASK));  
}
//检测指定位是否已设置为1    
int test(int n)  
{  
    return a[n>>SHIFT] & (1<<(n&MASK)); 
} 

再次言归正传。
取余是通过电路进行二进制除法来实现的，简略的原理图（具体的要复杂很多）我记得在数电的教科书上有，改天我查到了补上。
那么二进制除法是怎样的呢？其实网上一搜一堆原理。（TAT我在高铁上还以为是我自创来着）
（我们可以直接用减法来实现，但这样的话，如果是10324除以3，就会循环非常多次。）
针对这种情况，我的想法是：
1，将除数左移，至与被除数的最高位对齐或者小一位。（小一位是因为待会得用被除数减去左移后的除数，这个时候被除数肯定>（除数*某个2的n次））
2，被除数减去左移后的除数。
3，除数左移，这个时候，被除数肯定>（除数*某个2的n1次）
。。。。
不停迭代，直至被除数<除数，这个时候被除数就是余数。
我们先来看不考虑商，仅仅考虑取余

我们随便找两个数，假设是2381除以7。
2381，二进制为1001 0100 1101
7，二进制为111
用2381的最高位1001减去111，得10。相当于2381-7*256 = 589 （这个缩小得很快的，所以其实除非除数和被除数非常大，或者超出机器位数，每次操作要多读几遍，肯定会有性能损失）

589 = 刚才的答案10+之前没用过的右边01001101 = 1001001101
再次重复刚才的过程
589的最高位1001减去111，得10。相当于589-7*64 = 141

141 = 刚才的答案10+之前没用过的右边001101 = 10001101
。。。。。
如此循环，最后，当被除数剩1时即为余数。

那么商跑到哪里去了呢？
请看二进制除法原理，原理和我这个是一样的，只不过必须控制移位
继续用刚才的例子，2381除以7
以下是不停计算的过程,{}里的是每一次计算的答案，()里的是每一次没参加计算的位

   1001 (0100 1101)             //2381
  -0111                        //7
--------------------------
  {0010}(0100 1101)          //此时0010>0，所以商的最高位为1
  -0011  1                  //这一次不够减，所以商的次高位为0
除数继续右移
   0010 01(00 1101)
  -0001 11
----------------------------
  {0000 10}(00 1101)   //此时000010>0，所以商的第3高位为1
  -0000 11  1         //此时100减111<0，不够减，所以商的第4高位为0

除数继续右移
。。。。。。
如此循环，最后答案为101010100，最前面的1010就是前面四次计算的值。虽然很麻烦，但用电路来实现速度很快。