【转】求解平面最近点对的问题

美团面试，出了一道题，只想到暴力解法，分治硬是没想出来。。。。

 

FROM：http://www.cnblogs.com/xdruid/archive/2012/05/27/CP.html

 

（好吧。。。第一篇blog，之前没有写的习惯，现在还是开始慢慢记录下来吧~）

   所谓最近点对呢，就是平面上给你一堆点，然后求出这堆点中相距最小的距离。

   假如数据量比较小的话，那肯定是枚举所有点对求出各自距离再比较更方便了。很明显，枚举的时间复杂度是O（n²）。

不过一般不会给你这样的问题，点的个数往往很多，那就必然不能用枚举了。

   这里要使用一种O（nlog（n））的算法。

   这个算法主要思想就是分治，

   

算法描述：已知一个点的集合S，将S拆分成左右两部分求最近点对。首先对点集S进行排序，一般对点的X坐标从小到大排。算法每次选取一条直线（垂线）L，将S拆分成左右两部分Sl，Sr。L一般取点集S中所有点的中间点的x坐标来划分，这样可以保证S_L和S_R中的点数目各为n/2，否则，选取其他直线L划分可能导致Sl中有1个点，Sr中有n-1个点，这样算法的效率就很难保证了。依次找到Sl，Sr中的最短距离dl，dr。记录最短距离d=min(dl,dr);

如图：                                    

                                

很明显，只计算出Sl，Sr中的最短距离是不够的，S的最近点对很可能分别存在于Sl，Sr中。这种情况就要特殊处理了。

当然，只有在上图中两虚线之间的点才有再计算的意义，因为在这两条线之外的点与另一方的点的距离必然大于d。

 

    对于Sl虚框范围内的某点P，在Sr虚框中与P点距离小于d的点顶多只有六个，就是图二右图中的2个正方形的6的顶点。

    反证：假设Sr中存在一点Q与P的距离小于d，那么它与这个正方形的顶点的距离必然小于d，这与之前Sl，Sr中最短距离为d矛盾。

因此，对于Sl中的点P，不需要求出它与Sr中所有点的距离进行比较，根据鸽巢原理，只需要比较与P点Y坐标距离最近的6个点即可。这样大大降低了比较的次数。

求出Sl，Sr交界处的最短距离后对d进行更新即可。

                                                                          

 

算法时间复杂度： 首先对点集S的点x坐标和y坐标进行升序排序（快排），需要2nlogn次，

复杂度为O(2nlogn)在分治过程中，对于每个S'l中的点，都需要与S'r中的6个点进行比较，

复杂度为 O(n)。所以总的时间复杂度为O(nlogn),比起暴力枚举要好很多。           

               

HDU上的1007是一个裸的最近点对问题  HDU 1007

//HDU 1007，代码模仿某位大神写的...Orz
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;
#define  MAXX 1<<30

struct point
{
    double x,y;
};
point p[100010];
int t[1000010];
double min(double a,double b)
{
    return a>b?b:a;
}

int cmp(const point &a,const point &b)         //对于点的x坐标排序;
{
    if(a.x==b.x) return a.y<b.y;
    return a.x>b.x;
}

int cmpy(const int &a,const int &b)    //对点的y坐标排序;
{
    return p[a].y<p[b].y;
}

double dis(point a,point b)
{
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}

double findClosepari(int left,int right)                //分治，递归。两部分中间的情况要特殊处理;
{
    double x=MAXX;
    if(left==right) return x;
    if(left==right-1) return dis(p[left],p[right]);
    int mid=(left+right)>>1;                      //求出中间点;
    double dl=findClosepari(left,mid);
    double dr=findClosepari(mid+1,right);
    dl=min(dl,dr);

    int i,j,k;                                 //下面把中间2dl宽度的部分的点单独处理;
    k=0;
    for(i=left;i<=right;i++)
        if(fabs(p[i].x-p[i+1].x)<dl) t[k++]=i;

    sort(t,t+k,cmpy);   //由下到上排序,扫描;
    for(i=0; i<k; i++)
        for(j=i+1; j<k&&p[t[j]].y-p[t[i]].y<dl; j++)
        {
            double d3 = dis(p[t[i]],p[t[j]]);
            dl=min(dl,d3);
        }
    return dl;
}


int main()
{
    int n;
    while(cin>>n,n)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
        sort(p+1,p+n-1,cmp);
        double r=findClosepari(1,n)/2.0;
        printf("%.2lf\n",r);
    }
    return 0;
}