[LeetCode]Container With Most Water

Given n non-negative integers a1, a2, ..., an, where each represents a point at coordinate (i, ai). n vertical lines are drawn such that the two endpoints of line i is at (i, ai) and (i, 0). Find two lines, which together with x-axis forms a container, such that the container contains the most water.

Note: You may not slant the container.

方法一、最笨的办法，，时间复杂度是O(N^2)

Leecode 数量大的情况下超时

[3690,7683,9156,8637,6242,1881,9505,3803,3840,7101,3490,217,9335,5318,6480,5592,931,1424,6068,7927,6649,608,6239,3507,2575,3407,3948,636,2483,3672,4907,6173,7707,4063,1162,301,2296,667,4104,2488,4120,3946,2705...

// ContainerWithMostWater.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//

#include "stdafx.h"
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int> &height) {
        int maxV = 0;
        int minV = 0;
        for (int i = 0; i < height.size(); i++)
        {
            for (int j = 0; j < height.size(); j++)
            {
                minV = min(height[i], height[j]);
                int sum = (j - i + 1)*minV;
                if (sum>maxV)
                    maxV = sum;
            }
        }
        return maxV;
        
    }
};
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    return 0;
}

 方法二 O(n)的复杂度

有两个指针i和j分别指向头和尾， 如果a[i]<a[j], 则i++,否则j--:

证明：

对任意ｋ<j：

都有(k-i)*min(a[k],a[i]) < (j-i)min(a[j],a[i]) = (j-i)a[i]

因为：

(k-i) < (j-i)

min(a[k],a[i]) < a[i] < min(a[j],a[i])

所以此种情况移动j只能得到更小的值， 移动j无用， 只能移动i。 反之亦然。

1.首先假设我们找到能取最大容积的纵线为 i , j (假定i<j)，那么得到的最大容积 C = min( ai , aj ) * ( j- i) ；

2.下面我们看这么一条性质：

①: 在 j 的右端没有一条线会比它高！ 假设存在 k |( j<k && ak > aj) ，那么  由 ak> aj，所以 min( ai,aj, ak) =min(ai,aj) ，所以由i, k构成的容器的容积C' = min(ai,aj ) * ( k-i) > C，与C是最值矛盾，所以得证j的后边不会有比它还高的线；

②:同理，在i的左边也不会有比它高的线；

这说明什么呢？如果我们目前得到的候选： 设为 x, y两条线（x< y)，那么能够得到比它更大容积的新的两条边必然在  [x,y]区间内并且 ax' > =ax , ay'>= ay;

3.所以我们从两头向中间靠拢，同时更新候选值；在收缩区间的时候优先从  x, y中较小的边开始收缩；

 

直观的解释是：容积即面积，它受长和高的影响，当长度减小时候，高必须增长才有可能提升面积，所以我们从长度最长时开始递减，然后寻找更高的线来更新候补；

 

一种贪心的算法

// ContainerWithMostWater.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//

#include "stdafx.h"
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
class Solution {
public:
	int maxArea(vector<int> &height) {
		int left = 0, right = height.size() - 1;
		int max = 0;
		int sum = 0;
		while (left < right)
		{
			int minV = min(height[left], height[right]);
			sum = minV*(right - left);
			if (sum>max)
				max = sum;
			if (height[left] > height[right])
				right--;
			else
				left++;
		}
		return max;
		
	}
};
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	return 0;
}