CF983-Div.2-E

CF983-Div.2-E

自己独立完成的一道蓝题！中间思路有很多想复杂了的地方，但最终还是做出来了！记录一下自己的心路历程。

手玩样例找思路

狂搓4个样例！搓到第4个，把每个位置操作完之后的序列都写下来观察，写的过程中猛然发现数和数之间的操作有一种一环扣一环的感觉，如果按顺序操作，上一个操作完了，到了当前这个，它的操作方式其实是很固定的。

想到解方程。又感觉本题很可以二分，因此想到二分 + 高斯消元的思路。时间复杂度 $O(n^{3}logV)$。

怎么快速解方程

不管能不能二分答案，先想固定每个数最终的值 $x$ 过后，怎么判断这个方程有没有一组解，满足 $v_{1\sim n}$ 都是非负整数。

方程组写出来：

我们记 $a_i=x-c_i$，$c_i$ 表示原始序列（和原题不同）

$$\{\begin{array}{ll}{v}_n+2v_1+v_2& =a_1\\ v_1+2v_2+v_3& =a_2\\ v_2+2v_3+v_4& =a_3\\ ⋮\\ v_{n-2}+2v_{n-1}+v_n& =a_{n-1}\\ v_{n-1}+2v_n+v_1& =a_n\end{array}$$

完全满足3个3个轮换对称的形式，刚好 $n$ 个方程，所以是有唯一解的。

考虑怎么避开高斯消元，比较快速地解出这个方程。

找找轮换对称有没有什么性质。首先全部加起来刚好是 4 倍的 $\sum _{i=1}^{n}vi$。因此可以在 $O(n)$ 时间内得到了 $vsum$。

接着想。想了一段时间发现对每个方程单独下手仍然不方便。就开始乱搞了，先是挑了几个方程出来看尽量能不能凑成接近一个 $v_{1\sim n}$ 的形式，发现没什么性质。

然后把所有的奇数项方程加了起来，发现得到：

$$2v_1+v_2+v_3+\cdots +v_{n-1}+2v_n=a_1+a_3+a_5+\cdots +a_n$$

进而在 $O(n)$ 时间内得到了 $v_1+v_n$。

依次带进原方程组中，记 $b_i=a_i-(v_i+v_{i-1})$，得到：

$$\{\begin{array}{ll}{v}_1+v_2& =b_1\\ v_2+v_3& =b_2\\ v_3+v_4& =b_3\\ ⋮\\ v_{n-1}+v_n& =b_{n-1}\\ v_n+v_1& =b_n\end{array}$$

再次全部加在一起可以得 $vsum$，但已经没用了。

再次把所有的奇数项方程加了起来，得到：

$$2v_1+v_2+v_3+\cdots +v_{n-1}+v_n=b_1+b_3+\cdots +b_n$$

进而在 $O(n)$ 时间内得到了 $v_1$，最后就可以依次得到 $v_1\sim n$

梳理思路

结合方程组理解每次操作，发现如果序列已经全部变成一样的数 $x$ 了，此时每个位置在操作1次，相当于序列全部变成了 $x+4$，仍然是一组合法的解。结合题中所说的 “输出任意一个解”，更加肯定这个思路是对的。

于是发现不用二分了，对任意 $x$，$x-2\sim x+2$ 中必然有一个值是可以生成一组合法解的。

$x$ 取极大值就肯定有合法解了，我取的 1e18。

因此在 $O(\sum n)$ 的时间内就可以解决这个问题。

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,l,r) for(int i(l);i<=(r);++i)
#define G(i,r,l) for(int i(r);i>=(l);--i)
using namespace std;
using ll = long long;
using super = __int128;
const int LEN = 5e6;
char buf[100], *p1 = buf, *p2 = buf, obuf[LEN], *o = obuf;
inline int gc(){
	return (p1 == p2) && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 100, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++;
}
inline int rd(){
	int x = 0; char ch; bool f = 1;
	while(!isdigit(ch = gc())) f ^= (ch == '-');
	do x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); while(isdigit(ch = gc()));
	return f ? x : -x;
}
inline void output(super x){
	if(x < 0){
		x = ~x + 1;
		*o++='-';
	}
	if(x > 9) output(x / 10);
	*o++=(x % 10 + 48);
}
inline void write(super x, char c){
	output(x);
	*o++=c;
}
const int N = 2e5 + 5;
int n, T;
int c[N];
super v[N], a[N], b[N];
const int debug = 10004;
bool suan(ll x){
	super vsum = 0;
	b[0] = 0;
	F(i, 1, n) {
		a[i] = x - c[i];
		vsum += a[i];
		if(i & 1) b[0] += a[i];
	}
	if(vsum % 4 != 0) return 0;
	vsum /= 4;
	b[0] -= vsum * 2;
	v[1] = 0;
	F(i, 1, n){
		b[i] = a[i] - b[i - 1];	
		if(i & 1) v[1] += b[i];
		if(x == debug){
			cerr << (ll)b[i] << ' ';
		}
	}
	v[1] -= vsum;
	if(v[1] < 0) return 0;
	F(i, 2, n) {
		v[i] = b[i - 1] - v[i - 1];
		if(v[i] < 0) return 0;
	}
	return 1;
}
void Main(){
	n = rd();
	int flag = 1;
	F(i, 1, n) {
		c[i] = rd();
		if(i > 1 && c[i] != c[i - 1]) flag = 0;
	}
	if(flag){
		F(i, 1, n) write(0, ' ');
		return ;
	}
	const ll MAXN = 1e18;
	for(ll r = MAXN - 5; r <= MAXN; ++ r){
		if(suan(r)){
			F(i, 1, n) write(v[i], ' ');
			return ;
		}
	}
}
signed main(){
//	freopen("E.in","r",stdin);
//	freopen("E.out","w",stdout);
	T = rd();
	while(T --){
		Main();
		*o++='\n';
	}
	fwrite(obuf, o - obuf, 1, stdout);
	return fflush(0), 0;
}