CF963-D. Med-imize

CF963-D. Med-imize

二分套动态规划。

本题的中位数定义是 $a_{\lceil \frac{n}{2}\rceil }$，有个 trick，$x$ 可能成为中位数，当且仅当比 $x$ 大的数多于比 $x$ 小的数。

我们现在只需要关心每个数和 $x$ 的相对大小关系，我们给 $\ge x$ 的数赋权 $1$，$<x$ 的数赋权 $-1$。

容易发现 $x$ 越大，序列中 $-1$ 越多，总和越小，具有单调性。因此 $x$ 具有可二分性。

问题转化为：对于一个中位数 $x$ 得到的序列，能否通过删掉若干个长度为 $k$ 的子段，使剩下的序列总和 $sum>0$。

即我们要考虑怎么删才能最大化 $sum$。发现一段区间删不删，不是很好直接贪（跟每个数所处的位置有关系），考虑动态规划。

记 $f[i]$ 表示 $0\sim i$，删到长度 $\le k$，总和最大值。（下标从 $0$ 开始，方便下文性质）

怎么判断分段呢？发现一个性质：若 $a[i]$ 被留下来了，最后下标一定是 $a[i\mathrm{mod}k]$。原因很好想，因为你只能 $k$ 个 $k$ 个删， $i$ 对于 $k$ 的余数肯定不变。

因此转移可分三类：

$$f[i]=\{\begin{array}{ll}f[i-1]+b[i]& i<k\\ max(f[i],f[i-k])& i\ge k\cap i\mathrm{mod}k\ne 0\\ max(f[i-k],b[i])& i\ge k\cap i\mathrm{mod}k=0\end{array}$$

最后判断 $f[n]>0$ 即可。时间复杂度 $O(nlogn)$。