NOIP做题记录
感觉是最长公共子序列模型的变式。
容易想到记 \(f[i][j][k]\) 表示 \(A\) 走到了第 \(i\) 位，\(B\) 匹配上了 \(1 \sim j\)，目前分成了 \(k\) 段的方案数。
如果强制第 \(i\) 位必须匹配上的话，需要枚举位置 \(p\)，满足 \(A[p] = B[j - 1]\)。这样的复杂度是 \(O(n^2m^2)\)，无法通过本题。
我们采用类似最长公共子序列的方式，不必强制 \(i\) 必须匹配上，也可以直接从上一个状态继承过来。（优化 dp 定义）
具体来说，记 \(f[i][j][k][1/0]\) 表示 \(A\) 走到了第 \(i\) 位，\(B\) 匹配上了 \(1 \sim j\)，目前分成了 \(k\) 段，\(a[i]\) 匹配 / 不匹配的方案数。
如果 \(a[i]\) 匹配上了，分段的话，上一位匹没匹配上无所谓，不分段的话，上一位也必须要匹配上，即：
如果 \(a[i]\) 没匹配上，上一位匹没匹配上无所谓，即：
答案就是 \(f[n][m][k][0] + f[n][m][k][1]\)。注意有上一位的继承，所以不用枚举谁匹配 \(b[m]\) 了。
时间复杂度 \(O(nm^2)\)，而且跑不满，非常快。
算一下空间，\(128MB\) 存不下，把 \(i\) 维给滚掉就可以了。
（今天才发现原来 Luogu 不能 cin >> (a + 1)，于是用了 scanf）
#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,l,r) for(int i(l);i<=(r);++i)
#define G(i,r,l) for(int i(r);i>=(l);--i)
using namespace std;
using ll = long long;
const int mod = 1e9 + 7;
int f[2][205][205][2];
int n, m, s;
char a[1005], b[205];
signed main(){
scanf("%d %d %d %s %s", &n, &m, &s, a + 1, b + 1);
F(i, 1, n){
f[(i - 1) & 1][0][0][0] = 1;
F(j, 1, m) F(k, 1, s) f[i & 1][j][k][0] = f[i & 1][j][k][1] = 0;
F(j, 1, min(i, m)){
F(k, 1, min(j, s)){
f[i & 1][j][k][0] = (f[(i - 1) & 1][j][k][0] + f[(i - 1) & 1][j][k][1]) % mod;
if(a[i] == b[j])
f[i & 1][j][k][1] = ((f[(i - 1) & 1][j - 1][k][1]+ f[(i - 1) & 1][j - 1][k - 1][0]) % mod + f[(i - 1) & 1][j - 1][k - 1][1]) % mod;
}
}
}
printf("%d", (f[n & 1][m][s][0] + f[n & 1][m][s][1]) % mod);
return fflush(0), 0;
}
本题的关键在于打开思路，不必强制当前位必须匹配，一个小小的定义修改，足以影响复杂度。
图论小思维题。
强烈推荐 这篇博客，当中对点的分类及进一步的思维过程非常清晰易懂，下文也有所引用。
所有点可分成三类：
- 普通点
- 自身与 \(t\) 连通的点
- 自身和所有出度都与 \(t\) 连通的点
题目所求：由第 3 类点构成的图上最短路径
如何建图：先由第 1 类点求出所有 2 类点，再由 2 类点求出所有 3 类点，具体实现为建反图，从 \(t\) 开始 dfs
一遍即可。
求答案：dijktra 或 bfs AC代码
50pts 大概可以通过暴力建图跑最短路之类的方法完成。
70pts 是朴素 dp，记 \(f[i][j]\) 表示飞到 \((i, j)\) 的最小代价，由于上升阶段会枚举跳跃次数 \(k\)，因此是 \(O(nm^2)\) 的，实际加上一些剪枝，卡到了 90pts。
100pts 是做一个背包，70pts 的上升阶段其实本质是个多重背包，但其实可以做成完全的，下降阶段就是 01背包。
细节写好一点的话代码里面分讨，判断比较多，但 400ms 就过了。 记录详情
参考了一下题解区的写法，可以把 inf 的也转移上，并且算 f[i + 1][m] 的时候算到 f[i + 1][2m]，算完再合并，最后要清理一下撞到的柱子的部分，即 f[i + 1][1 ~ l[i + 1]] 和 f[i + 1][r[i + 1] ~ m]，重新设成 inf，这样的话很简洁，但跑了 600ms。 记录详情
NOIP2015 子串和 NOIP2014 飞扬的小鸟感觉都是优化 dp 定义和枚举，多余枚举的状态其实可以合并。通过优化循环顺序和稍微改动式子就能产生巨大的优化。
组合数 + 数位dp，50分是状压。dp深度好题（洛谷题解区有人说是NOIP中档题）
