斜率优化初探：以 [HNOI2008]玩具装箱 为例

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记 $f[i]$ 表示装好前 $i$ 个的最小花费。容易写出转移：

$$f[i]=\underset{j<i}{min}[f[j]+(s[i]-s[j]-1-L{)}^2]$$

直接转移是 $O(n^2)$ 的，我们考虑斜率优化。

斜率优化的过程

（一）问题转化成了求最小截距。

我们把 $min$ 的外壳去掉，并且提前把 $L+1$ （式子更简洁） 可以得到：

$$f[i]=f[j]+(s[i]-s[j]-1-L{)}^2$$

把括号打开，可以得到：

$$f[i]=f[j]+s[i{]}^2-2\times s[i]\times L-2\times s[i]\times s[j]+(s[j]+L{)}^2$$

移项后得到：

$$(2s[i])\times s[j]+(f[i]-s[i{]}^2+2\times s[i]\times L)=f[j]+(s[j]+L{)}^2$$

此时，如果我们把这看做一个一次函数，那么

$$\begin{gathered} k=2s[i] \\ x=s[j] \\ b=(f[i]-s[i{]}^2+2\times s[i]\times L) \\ y=f[j]+(s[j]+L{)}^2 \end{gathered}$$

注意到固定 $i$ 后，$k$ 是固定的。而对于每个 $j$， 我们都可求出对应的 $(x,y)$。此时当 $b$ 最小时，$f[i]$ 也会最小。

（二）截距在哪里最小？（图像理解）

我们知道有用的 $j$ 在二维平面上形成的点阵是个凸包。

我们惊讶的发现斜率竟然是固定的！我们可以平移这条直线至与凸包相切，显然这个切点 $E$， 就对应着最小的截距。

怎么找这个点呢？发现 $E$ 点以前的斜率都小于当前 $k$， $E$ 点之后的斜率都大于等于 $k$， 因此可以二分这个位置。时间复杂度 $O(nlogn)$。

（三）决策单调性的优化（图像理解）

决策单调性的定义：

设 $j_0[i]$ 表示 $f[i]$ 转移的最优决策点，那么 决策单调性 可以描述为 $\mathrm{\forall }i\le i^{\prime }$， $j_0[i]\le j_0[i^{\prime }]$。即随着 $i$ 递增，所找到的 最优决策点 是递增态（非严格递增）。

发现 $k=2s[i]$， 而 $s[i]$ 是前缀和，显然是递增的，那么我们的决策点也一定会越来越大（因为目标斜率递增）

详细证明参见参考博客。

用单调队列维护凸包的点集，分三步：

1. 将斜率比目标斜率小的点弹出， 在队首位置找到最优决策点 $j$。
2. 用最优决策点 $j$ 更新 $dp[i]$。
3. 把新的点加入队列中。

时间复杂度 $O(n)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,l,r) for(int i(l);i<=(r);++i)
#define G(i,r,l) for(int i(r);i>=(l);--i)
#define int ll
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 1e5 + 5;
int L, n, h = 1, t = 0;
int f[N], s[N], q[N];
int X(int j){
	return s[j] +L;
}
int Y(int j){
	return f[j] + (s[j] + L) * (s[j] + L);
}
long double slope(int i, int j){
	return (long double)(Y(i) - Y(j)) / (long double)(X(i) - X(j));
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin >> n >> L;
	++L;
	F(i, 1, n) cin >> s[i], s[i] += s[i - 1] + 1;
	q[++t] = 0;
	F(i, 1, n){
		while(h < t && slope(q[h], q[h + 1]) < 2 * s[i]) ++ h;
		int j = q[h];
		f[i] = f[j] + (s[i] - s[j] - L) * (s[i] - s[j] - L);
		while(h < t && slope(q[t - 1], q[t]) > slope(q[t - 1], i)) -- t;
		q[++ t] = i;
	}
	cout << f[n] << '\n';
	return 0;
}

反思：移项的依据

为了用 $Function(i)$ 表示出 $Function(j)$，我们把含 $i$ 的东西移到等式左边，把含 $j$ 的东西移到等式右边。以此整理出 "不变的 $k$，待求解的 $b$，确定的 $x,y$"。 记得 $f[i]$ 一定要放在截距 $b$ 里面！因为我们是对 截距 求解极值。

注意 $k,x,y$ 都是确定的，只有 $b$ 是待定的。

参考博客：

【学习笔记】动态规划—斜率优化DP（超详细） - 辰星凌 - 博客园 (cnblogs.com)