分层图

分层图

引入

我们发现，在某些最短路问题中，并不只有一种性质的边，或者说允许改变一些边权。为了处理这样的问题， 分层图建模思想 应运而生。

构建

对于这样的问题，我们考虑根据边的不同性质分别建图，在图的内部则是一些普通边，在图与图之间连上那些 “特殊的性质边”，换句话说，就是将 决策前的状态 和 决策后的状态 之间连接一条 权值为决策代价 的边，表示付出该代价后就可以进行此步状态转移 。

决策，就是分层图的构图依据。

具体的实现有两种：

	数组	建边	特点
方式一：物理构图	$dis[N\ast K]$	图内，图间	第 $i$ 张图的起点是(i-1) * n+1
方式二：DP构图	$dis[N][K]$	只有图内，图间由dp决策代替	$vis$ 也是二维，多一维模拟层数

例题

JLOI2011 飞行路线

经典题，$k$ 层图，图之间有免费边。

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按 最短路的奇偶性 来建分层图。本题充分体现了分层图 “拆点” 的思想。

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关键是寻找分层依据。发现发车间隔 $k$ 很小，考虑从它下手。假设当前时间为 $p$, 走到了 $u$ 点, 到 $v$ 的边权为 $w$。

• 若 $p<w$, 没办法走。但其实如果在起点多等待几轮就可以通过了。设在多等的时间 $\mathrm{\Delta }t=\lceil \frac{w-p}{k}\rceil \times k$ ，因此真正的时间 $t=\mathrm{\Delta }t+p$。
• 若 $p\ge w$，直接走就行。

怎么用 $u$ 和 $p$ 来转移呢？我们发现实际的时间并不重要，因为很大一部分多等的时间都可以用 $k$ 的若干倍轻松统计。于是只需要关心 $p\mathrm{mod}k$ 就可以啦！，不妨称其为 余数时间。那么定义就有了： $f[i][j]$ 表示 当前在点 $i$, 余数时间 为 $j$ 的 实际时间 的最小值。

• 若 $p<w$， 有转移 $dis[v][(p+1)\mathrm{mod}k]=min(dis[u][p\mathrm{mod}k],p)+1$ 。
• 若 $p\ge w$，有转移 $dis[v][(t+1)\mathrm{mod}k]=min(dis[u][t\mathrm{mod}k]+\mathrm{\Delta }t,t)+1$ 。

边界条件： $dis[1][0]=0$。

答案：$dis[n][0]$。

总结

个人更喜欢 DP建图， 因为它更突出了 “最短路算法本质是 $dp$ 的运用”。

分层图体现了一种 “拆点” 思想。

参考博客

关于分层图（学了你不吃亏，学了你不上当 雾） - AcWing

图论-分层图详解(附完整代码) - c20251917_lzy - 博客园 (cnblogs.com)

Genius_Star - 题解：CSP-J 2023旅游巴士