Kruskal 重构树

$Kruskal$ 重构树

解决的基本问题：一张图中 $u$ 到 $v$ 路径上最大边的最小值。

构建：在从小到大加边的过程中，如果 $u$, $v$ 不在一个并查集中，就建立一个新的节点 $X$，并将 $fu$ 和 $fv$ 分别作为 $X$ 的左右儿子， $X$ 的点权就是这条边的边权。这样树，我们称为 $Kruskal$ 重构树。

$Kruskal$ 重构树有如下重要性质：

• $Kruskal$ 重构树是一颗二叉树。
• 两点 $u$ 和 $v$ 的最近公共祖先 $LCA(u,v)$ 的点权为原图中从 $u$ 到 $v$ 满足最大边最小的路径上的边的最大值。
• 任意点的权值大于左右儿子的权值，是一个大根堆（若边权从大到小排序，则为小根堆）。
• $Kruskal$ 重构树整棵树的根就是最后所建的结点。
• 若原图不连通，即建出的是一个森林，那么就遍历每个节点，找到其并查集的根作为其所在树的根。

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