ABC358

ABC358

E - Alphabet Tiles

• 一句话题意：给定 $K$ 和 $C_{1\sim 26}$, 问共有多少个长度为 $1\sim K$ 的字符串，满足第 $i$ 种英文字母的出现次数不大于 $C_i$, 不小于 $0$.
• 标签：动态规划，组合数，动态拆分
• 记 $f[i][j]$ 表示使用前 $i$ 种字母，组成长度为 $j$ 的字符串的方案数，考虑如何从 $f[i-1]$ 转移到 $f[i]$.
• $f[i][j]+=f[i-1][j-k]\times C_j^k$
• 有两点需要注意：
  • 这样是直接把新的第 $i$ 种字母的所有贡献都用组合数算进去了
  • 由于$j-k$ 个数中可以连续插空，所以系数是 $C_j^k$ 而不是 $C_{j-k}^k$.
  • 边界是 $f[i][j]=0$.

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,l,r) for(int i(l);i<=r;++i)
#define G(i,r,l) for(int i(r);i>=l;--i)
//#define int long long
using namespace std;
using ll = long long;
const ll mod = 998244353;
const int N=1e3+105;
int n;
int c[N][N],p[30],f[30][N];
inline void ini(){
	F(i,0,n+5) c[i][0]=1;
	F(i,1,n+5) F(j,0,i) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin>>n; 
	ini();
	F(i,1,26)  cin>>p[i];
	f[0][0]=1;
	F(i,1,26){
		F(j,1,n){
			F(k,0,min(j,p[i])) {
//				printf("f[%d][%d]=(f[%d][%d]+f[%d][%d]*c[%d][%d])=%d+%d*%d=%lld\n",i,j,i,j,i-1,j-k,j,k,f[i][j],f[i-1][j-k],c[j][k],(f[i][j]+f[i-1][j-k]*c[j][k])%mod);
				f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-k]*c[j][k])%mod;				
			}
		}
	}
	int ans=0;
	F(i,1,n) ans=(ans+f[26][i])%mod;
	cout<<ans;
	return 0;
}