240503好题选讲：概率和期望
240503好题选讲：概率和期望
期望的计算公式：
\[E(X)=\sum_i i\times P(x=i)
\]
期望的线性性：
\[E(X+Y)=E(X)+E(Y),E(kX)=kE(x)
\]
A 百事世界杯之旅
B 收集邮票
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一句话题意：\(n\) 种邮票，每次等概率选取一张，第 \(i\) 张的价格是 \(i\), 问：
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标准版：集齐 \(n\) 种邮票所需要购买的期望张数。
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记 \(f_i\) 表示已经收集到 \(i\) 种邮票, 集齐剩余邮票的期望张数.
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则有 \(f_n=0\) , 答案为 \(f_0\).
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则有转移方程:
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\[f_i=\frac{i}{n} (f_i+1)+\frac{n-i}{n}(f_{i+1}+1) \\ =1+\frac{i}{n}f_i+\frac{n-i}{n}f_{i+1}
\]
即:下一步要么选到一样的,要么选到新的,再乘上各自的权重即可.
则
\[f_i=\frac{n}{n-i}+f_{i+1}
\]
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进阶版：集齐 \(n\) 种邮票所需要购买的期望价格.
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另记 \(g_i\) 表示已经收集到 \(i\) 种邮票, 集齐剩余邮票的期望价格.
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则有转移方程:
\[g_i=\frac{i}{n}[\ (f_i+1)+g_i\ ] + \frac{n-i}{n}[\ (f_{i+1}+1)+g_{i+1}\ ] \]即:下一步要么选到一样的( 则下一步的花费是 \(f_i+1\) ),要么选到新的( 则下一步的花费是 \(f_{i+1}+1\) ) ,再乘上各自的权重即可.
则
\[g_i=\frac{n}{n-i}+\frac{i}{n-i}f_i+f_{i+1}+g_{i+1} \]
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#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,l,r) for(int i(l);i<=r;++i)
#define G(i,r,l) for(int i(r);i>=l;--i)
using namespace std;
using ll = long long;
const int N=1e4+5;
double f[N],g[N];
int n;
signed main(){
scanf("%d",&n);
f[n]=0,g[0]=0;
G(i,n-1,0) f[i]=f[i+1]+(double)n/(n-i);
G(i,n-1,0) g[i]=(double)n/(n-i)+(double)i/(n-i)*f[i]+f[i+1]+g[i+1];
printf("%.2lf",g[0]);
return 0;
}
