二分图
二分图
前情提要:今日速查打二分图最大匹配,发现自己的匈牙利算法《学的非常好》,于是一怒之下写了这篇笔记
1.什么是二分图?
若一张无向图\(G\)的\(N\)个节点可分成\(A、B\)两个不相交的非空集合,并且同一集合内的点之间没有边相连,那称该图为二分图。
性质:二分图中不存在奇环(一个点想回到自己的点集肯定会经过奇数条边)
2.二分图判定
1)染色法
从一个节点\(u\)染色,并把与其相连的所有点染上异色(然后再从这些点出发去check,此过程用递归实现),若最后发现存在一个点被染上了两种不同颜色,则证明该图不是二分图,否则一定是二分图。
实现:\(dfs\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
const int N=205,M=5005;
int n,m,u,v,col[N];
vector<int> G[N];
inline bool dfs(int u,int c){
col[u]=c;
for(auto v:G[u]){
if(col[v] && col[v]==c) return 0;
if(!col[v] && !dfs(v,3-c)) return 0;
}
return 1;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
F(i,1,m){
scanf("%d %d",&u,&v);
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
F(i,1,n) if(!col[i] && !dfs(i,1)) { puts("NO"); return 0;}//要从每个点都开跑一遍
puts("YES");
return 0;
}
2)扩展域并查集
扩展域并查集用以解决多个逻辑冲突问题:有两个集合,\(n\) 个 \(a_i\) 和 \(b_i\), \(m\) 个形如 \((ai,bi)\) 的条件表示 \(a_i\) 和 \(b_i\) 不在同一集合中,问最终能否达到。
思想:约束\(a,b\)不在一个集合中即就是将\(a\)与\(\neg b\)放入放入同一集合内,再将\(b\)与\(\neg a\)放入同一集合内,最后检查\(a\)与\(\neg a\),\(b\)与\(\neg b\)是否在同一集合中即可,实际编程中\(merge(a,\neg b)\)就是\(merge(a,b+n)\).
对于这道题而言可以先通过swap保证 \(u<v\), 然后就只需要 \(merge(u,v+n)\) 即可(因为只要保证有一对不满足条件的点就能完成判定)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
const int N=205,M=5005;
int n,m,u,v,fa[N<<1];//并查集开两倍空间
inline int getfather(int x){
if(fa[x]!=x) fa[x]=getfather(fa[x]);
return fa[x];
}
inline void add(int x,int y){
x=getfather(x),y=getfather(y);
if(x!=y) fa[x]=y;
}
inline bool chk(int x,int y){ return getfather(x)==getfather(y); }
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m); F(i,1,n*2) fa[i]=i;
F(i,1,m) {
scanf("%d%d",&u,&v); ++u,++v;
if(u>v) swap(u,v);
add(u,v+n);
}
F(i,1,n) if(chk(i,i+n)) return puts("NO"),0;
puts("YES");
return 0;
}
二分图最大匹配
对于G的子图M,若M中任意两边都没有公共端点,则称M是二分图的一种匹配,所有匹配中包含边数最多的一组匹配称为二分图的最大匹配。
1)匈牙利算法:
思想:通过不断找增广路寻找更大的匹配,若无法找到增广路了,当前匹配就是最大匹配。
交替路:非匹配边--->匹配边--->非匹配边--->匹配边--->非匹配边--->匹配边--->......
增广路:从非匹配点出发沿交替路到达另一非匹配点的路径。
性质:增广路上的非匹配边总比匹配边多一条(两两为一组,最后一条非匹边会剩下),故 非匹 与 已匹 互换身份就能使匹配变大。
实现:\(dfs\)(参考代码)或\(bfs\).
注意连边只从左集连到右集即可,认真体会vis的作用(对每个点尝试找匹配时,每个点只能尝试一次)。
例题
#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
using namespace std;
const int N=505;
int k,m,n,pi[N],first[N],idx=0,sum=0;
bool vis[N];
struct node{ int v,ne; }e[N<<1];
inline void add(int x,int y){ e[++idx]=(node){y,first[x]}; first[x]=idx; }
inline bool dfs(int u){
for(int i=first[u];i;i=e[i].ne){
int v=e[i].v; if(vis[v]) continue; vis[v]=1;
//右集中的点不重复访问(每一轮每个右集点只会更换匹配一次)
if(!pi[v] || dfs(pi[v])) return pi[v]=u,1;
} return 0;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
cin>>k;
while(k){
mem(pi),mem(first),idx=0,sum=0;
cin>>m>>n;
F(i,1,k){
int u,v;
cin>>u>>v;
add(u,v); //女生去匹配男生,故如是连边(只连单向边,左集连到右集)
}
F(i,1,m){//枚举女生(左集)
mem(vis);
if(dfs(i)) ++sum;
}
cout<<sum<<'\n';
cin>>k;
}
}
最坏情况下以每个点为起点寻找增广路会遍历整张图每条边(continue也会耗时所以注意不是\(O(N)\)),时间复杂度为\(O(M)\),故总时间复杂度为\(O(NM)\).
2)\(Dinic\)算法:学了再说
再忘我就再写,我还不信了这么简单个算法我能记不住?