LCS(最长公共子序列)
关于输出多个LCS(最长公共子序列)的简单技巧
百度百科：
一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，
且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。
注意：S在已知序列中可以不连续；比如ABCBDAB和BDCABA的LCS为BCBA，BCBA不连续出现。
LCS通常利用动态规划算法求解，最简单的求解方式如《算法导论》所述：
1.设输入为X1X2…Xm，Y1Y2…Yn，构造二维数组B、C；
其中B[i][j]存储C[i][j]的最优解指向，C[i][j]存储X[1…i]和Y[1…j]的LCS长度；
2.B、C数组同时更新：
2.1.令B[0][k]、C[0][k]（k=0…n）和B[k][0]、C[k][0]（k=0…m）为0；
2.2.按下标从小到大的顺序依次计算每行的B[i][j]和C[i][j]，规则如下：
①.若X[i]=Y[j]，则C[i][j]=C[i-1][j-1]+1，B[i][j]=0；
②.若X[i]！=Y[j]，则C[i][j]=Max(C[i][j-1],C[i-1][j])，B[i][j]=1或2；
3.更新完B、C后，从C[m][n]开始递归输出，根据B[i][j]的指向打印LCS；
相信大家都明白这个原理，简单的用一张图来说明一下：
1.箭头代表B[i][j]的值，其中用指向左上方的箭头代表0，←和↑代表1和2(或2和1)；
2.箭头下方的数字为C[i][j]的值，即子问题X[1…i]和Y[1…j]的LCS长度；
可是这样的构造只能输出一个LCS，但是我们发现BCBA、BCAB、BDAB都是该序列集的LCS。
为什么呢？因为该算法在C[i-1][j]=C[i][j-1]时，只记录了一种情况！即没有保存分支！
如何简单的修改算法，以求得多个LCS呢？下面介绍一种改进的方法。
还是利用数组B、C，并且C的计算规则不变，下面修改B的计算规则：
1.若X[i]=Y[j]，B[i][j]=0；
2.若X[i]!=Y[j]，有以下判断：
①.若C[i-1][j]>C[i][j-1]，则C[i][j]=C[i-1][j]，B[i][j]=1；
②.若C[i-1][j]<C[i][j-1]，则C[i][j]=C[i][j-1]，B[i][j]=2；
③.若C[i-1][j]=C[i][j-1]，则C[i][j]的长度任取，B[i][j]=3；
此时用另一张图表示该算法：
1.用四种箭头表示B[i][j]的值，其中←和↑都存在时，表示C[i-1][j]=C[i][j-1]；
2.输出的时候采用正则表达式的思想：遇到B[i][j]=3时，同时对两种情况进行递归；
形式为“（←+↑）”，其中←和↑分别表示两个子问题的LCS；
补充：（A+B），在正则表达式中意义为A或B，即“+”表示二选一的关系。
下面给出C++源代码帮助大家更好地理解：（编译器为Codeblocks）
1 #include<iostream>
2 #include<string.h>
3 #define M 100
4 #define N 100
5 using namespace std;
6
7 void LCS_length(string x,string y,int B[M][N],int C[M][N])/*动态规划*/
8 { for(int i=1;i<=x.length()-1;i++) C[i][0]=0;
9 for(int j=0;j<=y.length()-1;j++) C[0][j]=0;
10 for(int i=1;i<=x.length()-1;i++)
11 for(int j=1;j<=y.length()-1;j++)
12 { if(x[i]==y[j])
13 { C[i][j]=C[i-1][j-1]+1;B[i][j]=0/*Up&Left*/;}
14 else if(C[i-1][j]>C[i][j-1])
15 { C[i][j]=C[i-1][j];B[i][j]=1/*Up*/;}
16 else if(C[i-1][j]<C[i][j-1])
17 { C[i][j]=C[i][j-1];B[i][j]=2/*Left*/;}
18 else
19 { C[i][j]=C[i][j-1];B[i][j]=3/*Up+Left*/;}}}
20
21 void Print_LCS(string x,int B[M][N],int i,int j)/*输出LCS*/
22 { if(!i||!j) return;
23 if(!B[i][j])
24 { Print_LCS(x,B,i-1,j-1);cout<<x[i];}
25 else if(B[i][j]==1)
26 Print_LCS(x,B,i-1,j);
27 else if(B[i][j]==2)
28 Print_LCS(x,B,i,j-1);
29 else
30 { cout<<'(';
31 Print_LCS(x,B,i-1,j);
32 cout<<'+';
33 Print_LCS(x,B,i,j-1);
34 cout<<')';}}
35
36 int main()
37 { string x,y;
38 cin>>x;cin>>y;
39 x=' '+x;y=' '+y;
40 int B[M][N],C[M][N];
41 LCS_length(x,y,B,C);cout<<endl;
42 Print_LCS(x,B,x.length(),y.length());}
可以在https://github.com/XueDingWen/Software-Security/blob/master/LCS.cpp下载
看完Print_LCS()函数，大家应该大致有所了解，下面给出运行结果：
输入为ABCBDAB、BDCABA；
输出为(BCBA+(BC+BD)AB)，即表示BCBA、BCAB、BDAB都为输入的LCS；
当然，如果不想采用这种形式，也可以：
1.用字符型数组（如Vector）或String型变量保存输出；
2.根据括号分解，输出多个LCS；
还有一种方式：
1.遍历数组B，用栈保存B[i][j]=3的点的坐标，比如[7，6]，[5，3]等；
2.让这些点的赋值从11……11逐渐变为22……22；
因为B[i][j]=3可以理解为B[i][j]=1或2，那么用二进制序列的思想遍历每种赋值情况；
当然此时时间开销更大，还可能重复输出，所以建议第一种方式。
