数据结构与算法-08堆

堆

堆（Heap）是一种特殊的树形数据结构，它满足以下两个条件：

堆是一棵完全二叉树，即除了最后一层，其他层都是满的，最后一层从左到右填满。

堆中每个节点的值都大于等于（或小于等于）其子节点的值，这种性质称为堆序性。

根据堆序性，堆可以分为两种类型：

• 大根堆（Max Heap）：每个节点的值都大于等于其子节点的值。
• 小根堆（Min Heap）：每个节点的值都小于等于其子节点的值。

堆的主要应用是在排序算法中，例如堆排序（Heap Sort）和优先队列（Priority Queue）。堆排序是一种基于堆的排序算法，它的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(1)。优先队列是一种数据结构，它可以用堆来实现，用于维护一组元素中的最大值或最小值。

堆可以使用数组来实现，具体实现方式为：

对于一个节点i，它的左子节点为2i+1，右子节点为2i+2。

对于一个节点i，它的父节点为(i-1)/2。

以下是一个简单的Python示例代码，演示了如何使用数组实现大根堆：

class MaxHeap:
    def __init__(self):
        self.heap = []

    def push(self, value):
        self.heap.append(value)
        self._sift_up(len(self.heap) - 1)

    def pop(self):
        if len(self.heap) == 0:
            raise ValueError("Heap is empty")
        value = self.heap[0]
        last_value = self.heap.pop()
        if len(self.heap) > 0:
            self.heap[0] = last_value
            self._sift_down(0)
        return value

    def _sift_up(self, index):
        parent_index = (index - 1) // 2
        while index > 0 and self.heap[index] > self.heap[parent_index]:
            self.heap[index], self.heap[parent_index] = self.heap[parent_index], self.heap[index]
            index = parent_index
            parent_index = (index - 1) // 2

    def _sift_down(self, index):
        left_child_index = 2 * index + 1
        right_child_index = 2 * index + 2
        largest_index = index
        if left_child_index < len(self.heap) and self.heap[left_child_index] > self.heap[largest_index]:
            largest_index = left_child_index
        if right_child_index < len(self.heap) and self.heap[right_child_index

Python中的heapq模块

Python中的heapq模块提供了一些堆操作的函数，包括将列表转换为堆、将元素添加到堆、从堆中删除元素、获取堆中的最小值或最大值等。heapq模块使用的是小根堆，即堆中的最小值在堆顶。

常用的heapq函数：

• heapify(iterable)：将可迭代对象转换为堆。
• heappush(heap, item)：将元素添加到堆中。
• heappop(heap)：从堆中删除并返回最小值。
• heappushpop(heap, item)：将元素添加到堆中，并返回堆中的最小值。
• heapreplace(heap, item)：从堆中删除并返回最小值，并将元素添加到堆中。
• nlargest(n, iterable[, key])：返回可迭代对象中最大的n个元素。
• nsmallest(n, iterable[, key])：返回可迭代对象中最小的n个元素。

使用示例：

import heapq

# 将列表转换为堆
heap = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3

# 将列表转换为堆
heap = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3]
heapq.heapify(heap)
print(heap)

# 将元素添加到堆中
heapq.heappush(heap, 0)
print(heap)

# 从堆中删除并返回最小值
min_value = heapq.heappop(heap)
print(min_value)
print(heap)

# 将元素添加到堆中，并返回堆中的最小值
min_value = heapq.heappushpop(heap, 7)
print(min_value)
print(heap)

# 从堆中删除并返回最小值，并将元素添加到堆中
min_value = heapq.heapreplace(heap, 8)
print(min_value)
print(heap)

# 返回可迭代对象中最大的n个元素
largest = heapq.nlargest(3, heap)
print(largest)

# 返回可迭代对象中最小的n个元素
smallest = heapq.nsmallest(3, heap)
print(smallest)

在这个示例代码中，首先定义了一个列表heap，然后使用heapq.heapify函数将其转换为堆。接着使用heapq.heappush函数将元素0添加到堆中，使用heapq.heappop函数从堆中删除并返回最小值，使用heapq.heappushpop函数将元素7添加到堆中，并返回堆中的最小值，使用heapq.heapreplace函数从堆中删除并返回最小值，并将元素8添加到堆中。最后使用heapq.nlargest函数返回堆中最大的3个元素，使用heapq.nsmallest函数返回堆中最小的3个元素。